Сегодня на уроке мы напомним, что называют криволинейной трапецией. Вспомним, как можно вычислить её площадь. Рассмотрим применение интеграла для вычисления площадей.
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним,
что криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную снизу отрезком
оси
, сверху графиком непрерывной функции
такой, что
при
и
при
, а с боков ограниченную отрезками прямых
и
. Отрезок
называют основанием этой криволинейной трапеции.
Площадь криволинейной трапеции можно
вычислить по формуле , где
– любая первообразная функции
.
Вспомним формулу Ньютона – Лейбница: . Помним, что данная формула может быть записана и вот таким
образом:
.
Таким образом, из двух формул получаем, что .
На одном из предыдущих занятий мы с вами решали задачи на вычисление площади криволинейной трапеции.
Давайте сейчас вычислим площадь криволинейной трапеции,
ограниченной , прямыми
,
и параболой
.
Теперь вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми
,
и графиком функции
.
Далее найдём площадь фигуры, ограниченной параболами ,
и осью
.
Давайте найдём площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми
,
, осью
и графиком функции
.
Теперь найдём площадь фигуры, ограниченной отрезком оси
и графиком функции
на этом отрезке.
Запомните, что если на отрезке
, причём равенство нулю может быть лишь на его концах, то площадь
криволинейной трапеции равна
.
Далее давайте найдём площадь фигуры, ограниченной параболой и
.
Посмотрите на фигуру, изображённую на следующем рисунке.
Её площадь равна разности двух трапеций, опирающихся на отрезок . Сверху первая трапеция ограничена графиком функции
. Вторая трапеция сверху ограничена графиком функции
.
Площадь этой фигуры равна . Эта формула справедлива для любых непрерывных функций
и
(принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию
.
Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами и
.