Вычисление площадей с помощью интегралов

Сегодня на уроке мы напомним, что называют криволинейной трапецией. Вспомним, как можно вычислить её площадь. Рассмотрим применение интеграла для вычисления площадей.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную снизу отрезком  оси , сверху графиком непрерывной функции  такой, что  при  и  при , а с боков ограниченную отрезками прямых  и . Отрезок  называют основанием этой криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле , где  – любая первообразная функции .

Вспомним формулу Ньютона – Лейбница: . Помним, что данная формула может быть записана и вот таким образом: .

Таким образом, из двух формул получаем, что .

На одном из предыдущих занятий мы с вами решали задачи на вычисление площади криволинейной трапеции.

Давайте сейчас вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной , прямыми ,  и параболой .

Теперь вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми ,  и графиком функции .

Далее найдём площадь фигуры, ограниченной параболами ,  и осью .

Давайте найдём площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми , , осью  и графиком функции .

Теперь найдём площадь фигуры, ограниченной отрезком  оси  и графиком функции  на этом отрезке.

Запомните, что если  на отрезке , причём равенство нулю может быть лишь на его концах, то площадь  криволинейной трапеции равна .

Далее давайте найдём площадь фигуры, ограниченной параболой  и .

Посмотрите на фигуру, изображённую на следующем рисунке.

Её площадь равна разности двух трапеций, опирающихся на отрезок . Сверху первая трапеция ограничена графиком функции . Вторая трапеция сверху ограничена графиком функции .

Площадь этой фигуры равна . Эта формула справедлива для любых непрерывных функций  и  (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию .

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболами  и .