Вычисление интегралов

Сегодня на уроке мы повторим, что называют интегралом от функции  на отрезке . Вспомним формулу Ньютона – Лейбница. Будем вычислять интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы давайте вспомним, что криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную снизу отрезком  оси , сверху графиком функции  такой, что  при  и  при , а с боков ограниченную отрезками прямых  и .

Отрезок  называют основанием этой криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле , где  – любая первообразная функции .

Разность  называют интегралом от функции  на отрезке  и обозначают так: , то есть имеет место следующая формула . Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница.

Напомним, что числа  и  называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функцию  называют подынтегральной функцией. Переменную  называют переменной интегрирования.

Перейдём к вычислению интегралов. Интегралы можно приближённо вычислять с помощью интегральных сумм. Но такой способ требует громоздких вычислений. Поэтому его применяют в тех случаях, когда не получается найти первообразную функции . Если же первообразная функция известна, то интеграл можно вычислить точно с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

Отметим, что при вычислении интегралов формулу Ньютона – Лейбница удобно записывать вот в таком виде: .

Давайте приступим к выполнению заданий.

Задание первое. Вычислите интегралы:

Решение.

Задание второе. Вычислите интегралы:

Решение.