Площадь сферы

На этом уроке мы поговорим о формуле для вычисления площади поверхности сферы. Узнаем, какой многогранник называется описанным около сферы. А также решим несколько задач на применение формулы для вычисления площади сферы.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера.

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Ранее вы уже познакомились с понятием касательной плоскости к сфере, её свойством, а также с признаком касательной плоскости к сфере.

Вспомним их. Итак, плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Признак касательной плоскости к сфере: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Перейдём к рассмотрению вопроса о нахождении площади сферы.

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура.

Поэтому для сферы не подходит способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки.

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника.

Определение:

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней.

При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Говорят, что сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани. Понятно, что центр О сферы с радиусом , вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу  сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника.

На экране вы видите примеры описанных около сферы многогранников.

Тетраэдр, куб и октаэдр называются описанными около сферы. В свою очередь, сфера называется вписанной в многогранник. Обратите внимание, плоскость каждой грани многогранника является касательной к сфере.

Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников. То есть пусть около сферы описан многогранник, который имеет  граней.

Будем неограниченно увеличивать число  граней так, чтобы при этом наибольший размер каждой грани многогранника стремился к нулю.

Наибольшим размером грани мы будем называть наибольшее расстояние между двумя точками грани. Например, если грань является прямоугольником, то её наибольший размер равен диагонали. Представим себе, что количество граней многогранника стало бесконечно много. Тогда площадь поверхности многогранника будет приближаться к площади сферы.

За площадь сферы можно принять предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани, который равен . Существование этого предела мы докажем при изучении объема шара.

Таким образом, площадь сферы можно вычислить по формуле , где  – радиус сферы.

Задача: найдите площадь сферы, радиус которой равен  см.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

По условию задачи радиус сферы равен  см. Подставим длину радиуса в формулу. Получим, что площадь сферы равна . Запишем ответ.

Задача: площадь сферы равна  см². Найдите радиус сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

И выразим из неё радиус. Получили, что радиус сферы можно вычислить по формуле: . Не забудем записать ответ.

Задача: площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна  см². Найдите площадь сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

Рассмотрим внимательно рисунок.

Напомним, что сечение сферы плоскостью есть окружность. Так как по условию задачи сечение сферы проходит через её центр, то сечение будет иметь радиус равный радиусу сферы .

Площадь сечения (окружности) вычисляется по формуле . Отсюда, найдём радиус  (см).

Подставим найденный радиус в формулу для вычисления площади сферы. Посчитаем. Получим, что площадь сферы равна .

Запишем ответ.

Задача: около сферы описан куб с ребром, равным  см. Вычислите площадь сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

Напомним, что многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней.  

При этом плоскость каждой грани куба является касательной к сфере. А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Значит, диаметр нашей сферы равен длине ребра куба  (см). Отсюда, радиус сферы равен  (см).

Подставим радиус сферы в формулу для вычисления площади сферы. Посчитаем. Получим, что площадь сферы равна .

Не забудем записать ответ.

Итоги:

На этом уроке мы вспомнили формулу для вычисления площади поверхности сферы. Узнали, что многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.