Понятие объема

На этом уроке мы поговорим об объеме тел. Выясним основные свойства объёма.

В повседневной жизни очень часто нам приходится сталкиваться с понятием объёма. Например, нас интересует объём (вместимость) коробки или банки.

А в практической деятельности человеку необходимо уметь вычислять объём при изготовлении каких-либо деталей.

Или при строительстве различных сооружений.

Ведь многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т.д.

Итак, мы с вами продолжаем изучать стереометрию. Напомним, что стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Как вы уже поняли, пространственные фигуры, или как их ещё называют тела, в отличие от плоских фигур, обладают вместимостью, т.е. они имеют объём. Такие фигуры называют объёмными.

А значит, мы можем найти объём тела. Давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять.

Из курса планиметрии вы уже знакомы с понятием площади многоугольника. Каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей.

В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Площадь может измеряться в см², в м², в км² и т.д.

Напомним, что площадь – это положительная величина, определенная для каждого многоугольника, числовое значение которой обладает следующими свойствами:

1) площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице.

2) равные многоугольники имеют равные площади.

3) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. Будем понимать объём как количество занимаемого геометрическим телом пространства. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле.

Чтобы измерить объем, надо выбрать единицу измерения объёмов. Единицей объёма является объём куба с ребром, равным единице.

Такой куб называется единичным. Объём единичного куба принимается за единицу измерения объёмов.

Например: объём куба с ребром, равным 1сантиметру, равен одному кубическому сантиметру, пишут так: 1 куб. см, или так 1 . Точно также определяются и кубический миллиметр (1 ), кубический метр (1 ) и так далее.

Нетрудно заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».

Находя объём тела, мы фактически выясняем, сколько единичных кубов он содержит.

Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина – 5 см, ширина – 4 см и высота – 3 см.

Посчитаем, сколько единичных кубов с ребром 1 см вмещается в нём. Для этого разобьём параллелепипед плоскостями, параллельными основаниям, на 3 слоя высотой в 1 см.

Понятно, что для того чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить в него 3 одинаковых слоя с единичными кубами, т.к. высота параллелепипеда 3 см. Посмотрим сколько единичных кубов заполнят первый слой.

Видим, всего в первом слое поместилось  ед. кубов. Но у нас же 3 одинаковых слоя. А, значит, в трёх таких слоях будет помещаться  ед. кубов.

Следовательно, объём указанного параллелепипеда равен  (см³).

Напомним, что объём обозначается заглавной латинской буквой , которая является сокращением от латинского слова volume – что в переводе обозначает «объём», «наполнение».

Итак, объём – это положительная величина, определённая для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.

2) равные геометрические тела имеют равные объёмы.

Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением.

На экране изображены два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями. Так как их измерения соответственно равны, то каждый из них содержит столько же единиц измерения объемов, сколько и второй.

3) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

На экране изображено тело, составленное из нескольких тел, причем внутренние области этих тел не имеют общих точек, но имеют общие граничные точки. Наше тело состоит из цилиндра и конуса. Общими граничными точками этих тел будут точки их общего основания. Понятно, что объём всего тела складывается из объемов составляющих его тел.

Второе и третье свойства называются основными свойствами объёмов.

Справедливо следующее следствие из этих свойств.

Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объёмов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на  равных частей ( – произвольное целое число) и проведём через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьётся на  равных маленьких кубов с ребром . Так как сумма объёмов всех маленьких кубов равна объёму всего куба, т.е. равна единице, то объём каждого из маленьких кубов равен . Тогда имеем, объём куба с ребром  равен .

Давайте ответим на несколько несложных вопросов.

Первый вопрос: на сколько кубиков с длиной ребра  дм можно распилить куб с ребром  м?

Ответ: т.к.  м =  дм, то объем всего нашего куба составит  дм³. Следовательно, куб с ребром  м можно распилить на  кубиков с длиной ребра  дм.

Второй вопрос: сколько кубиков с длиной ребра  см содержит прямоугольный параллелепипед с размерами  см на  см на  см?

Ответ: объём параллелепипеда равен  см³. Значит, наш параллелепипед содержит  кубика с длиной ребра  см.

И третий вопрос: сколько кубиков содержится в кубике Рубика?

Ответ: обратите внимание, на экране изображён кубик Рубика.

Каждый слой кубика Рубика содержит  маленьких кубиков. Всего он имеет 3 таких слоя. Значит, весь кубик Рубика должен состоять из  маленьких кубиков. Но на самом деле их: , т.к. вместо центрального кубика – механизм крепления, за счет которого вращаются кубики.

Итоги:

На этом уроке мы говорили об объёме, одной из важных величин, связанной с геометрическими телами.

Объём – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) равные геометрические тела имеют равные объёмы.

2) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объёмов этих тел.

3) объём куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.