Объем прямоугольного параллелепипеда

На этом уроке мы поговорим о прямоугольном параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

Ранее мы с вами уже познакомились с прямоугольным параллелепипедом. Напомним, что параллелепипед называется прямоугольным, если все его шесть граней прямоугольники.

Представление о форме прямоугольного параллелепипеда дают спичечный коробок, коробка, холодильник и др.

Давайте представим себе, комнату, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Если говорить о её размерах, то обычно употребляют слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда.

На экране изображён прямоугольный параллелепипед . В качестве его измерений можно взять, например, длины рёбер ,  и , все эти рёбра имеют общую вершину . Тогда ребро  – это есть длина данного параллелепипеда,  – ширина и  – его высота.

Прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

1)                квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

2)                объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Итак, справедлива следующая теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Докажем эту теорему. Пусть дан прямоугольный параллелепипед . Обозначим его измерения буквами ,  и , а его объём буквой .

Докажем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .

Возможны два случая:

Рассмотрим первый случай. Измерения ,  и  представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит  ().

В этом случае числа ,  и  являются целыми.

Разделим каждое ребро параллелепипеда на равные части длины . Затем через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Тогда наш параллелепипед  разобьётся на равные кубы с длиной каждого ребра . Общее же количество таких кубов будет равно .

Так как объём каждого такого куба равен , то объём всего параллелепипеда  будет равен .

Этим мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Что и требовалось доказать.

Перейдём ко второму случаю. Хотя бы одно из измерений ,  и  представляет собой бесконечную десятичную дробь.

Рассмотрим конечные десятичные дроби , , , которые получаются из чисел , , , если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с -ой.

Заметим, что тогда справедливо неравенство , где . Аналогичные неравенства будут выполняться и для чисел  и : , , где , .

Перемножим эти неравенства. Тогда видим, что .

Из неравенства понятно, что параллелепипед  содержит в себе параллелепипед , а сам содержится в параллелепипеде .

А это говорит о том, что .

Теперь давайте будем неограниченно увеличивать . Тогда число  будет становиться сколь угодно малым, и поэтому число  будет сколь угодно мало отличаться от числа .

В итоге, они станут равны. Т.е. . Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы справедливы следующие следствия.

Первое следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть грань с рёбрами  и  является основанием прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь основания , а высота параллелепипеда .

Тогда можно заметить, что формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда  можно записать в виде , где  – площадь основания,  – высота прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен . Что и требовалось доказать.

Второе следствие. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Для доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму с основанием  () до прямоугольного параллелепипеда так, как показано на экране.

Учитывая первое следствие, объём этого параллелепипеда равен , где  – площадь основания ,  – высота призмы.

Плоскость  разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых – данная. Эти призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты.

Следовательно, объём  данной призмы равен , т.е. равен . Что и требовалось доказать.

Замечание. Рассмотрим квадрат со стороной а.

Исходя из теоремы Пифагора его диагональ равна . Поэтому площадь построенного на ней квадрата вдвое больше площади данного квадрата. Таким образом, не составляет труда построить сторону квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата.

Рассмотрим теперь куб со стороной а.

Возникает вопрос: можно ли с помощью циркуля и линейки построить сторону куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба, т.е. построить отрезок, равный ? 

Эта задача была сформулирована ещё в глубокой древности. Она получила название «задача об удвоении куба». Лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал, что такое построение невозможно. Одновременно им была доказана неразрешимость ещё одной задачи на построение – задачи о трисекции угла (произвольный данный угол разделить на три равных угла).

Напомним, что к числу классических неразрешимых задач на построение относится также задача о квадратуре круга (построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Невозможность такого построения была доказана в 1882 году немецким математиком Карлом Луизом Фердинандом Линдеманом.

Задача: найдите объём прямоугольного параллелепипеда с диагональю  см и сторонами основания  см и  см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через его измерения.

Из условия задачи нам известны длина, ширина и диагональ прямоугольного параллелепипеда, но неизвестна его высота. Напомним, что .

Выразим из этой формулы высоту  прямоугольного параллелепипеда. Получим, что высота равна  и равна  (см).

Подставим измерения нашего прямоугольного параллелепипеда в формулу объёма. Посчитаем. Получим, что объем параллелепипеда равен  (см³).

Не забудем записать ответ.

Задача:  прямоугольный параллелепипед, основание  – квадрат. Объем прямоугольного параллелепипеда равен  см³. Определите высоту прямоугольного параллелепипеда, если  см.

Решение: на этом уроке мы доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен . Выразим из формулы высоту. Отсюда, высота равна . Так как в основании нашего прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат по условию, то площадь основания равна  (см²). По условию задачи, также известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен . Отсюда, высота равна  (см). Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке мы вспомнили понятие прямоугольного параллелепипеда. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. А также доказали, что объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.