Касательная плоскость к сфере

На этом уроке мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера.

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Также вы уже знаете, что в зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Сфера и плоскость могут:

1)  пересекаться по окружности. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

Тогда сечение сферы плоскостью есть окружность;

2) не пересекаться. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек.

3) и иметь только одну общую точку. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

Давайте более подробно остановимся на последнем случае, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Определение:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

На экране вы видите сферу с центром в точке О и плоскость . Эта плоскость является касательной плоскостью к сфере, а точка А – есть точка касания.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Вообще касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Это свойство выражается в следующей теореме:

Итак, теорема или свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство: плоскость  касается сферы с центром  в точке . Докажем, что .

По определению касательной плоскости точка А будет единственной общей точкой плоскости  и сферы. Другие точки плоскости лежат вне сферы. Следовательно, они расположены дальше от центра сферы.

Тогда ОА – это кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Напомним, что кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра. Значит, перпендикуляр .

Следовательно, радиус . Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема (признак касательной плоскости к сфере).

Сформулируем и докажем её.

Итак, обратная теорема или признак касательной плоскости к сферы: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство: из условия теоремы вытекает, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости.

Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы , и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. По определению такая плоскость является касательной к сфере. Значит, плоскость  – есть касательная плоскость к сфере. Что и требовалось доказать.

Задача: диаметр шара равен  см. На каком расстоянии от центра шара находится плоскость, касающаяся его?

Решение: напомним, что касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

По свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости .

Радиус нашего шара и будет расстоянием от центра шара до точки касания с плоскостью .

Так как по условию задачи диаметр шара равен 18 см, то радиус равен  (см). Запишем ответ.

Задача: сфера касается плоскости равностороннего треугольника с высотой  см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно  см. Найдите радиус сферы.

Решение: так как по условию задачи треугольник равносторонний, то его центр будет находиться в центре вписанной и описанной окружностей.

Напомним, что в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой. А по свойству медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Так как по условию задачи высота треугольника равна 12 см, а она же является и медианой, значит, расстояние  (см).

Рассмотрим . Он прямоугольный, так как . А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Применим теорему Пифагора и найдем чему равен катет . Получаем, что  (см). Не забудем записать ответ.

Определение:

Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.

По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

На экране вы видите сферу с центром в точке О и прямые ,  и , лежащие в плоскости . Прямые ,  и  являются касательными прямыми к сфере, а точка А – есть точка касания.

Для касательной прямой в сфере также справедливы следующие утверждения:

Радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере.

А теперь давайте рассмотрим две касательные прямые к сфере с центром О, проходящие через точку А и касающиеся сферы в точках В и С.

Отрезки  и  – отрезки касательных, проведёнными из точки .

Они обладают следующим свойством: отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Это легко увидеть из равенства прямоугольных треугольников . У этих треугольников гипотенуза  общая, а катеты .

Задача: расстояние от точки  до центра  сферы с радиусом  см равно . Найдите расстояние от данной точки до точки  касания прямой  и сферы.

Решение: соединим точку А, точку касания, с центром сферы.

Отрезок . Напомним, что радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой.

Рассмотрим . Он прямоугольный. Применяя теорему Пифагора найдём чему равен катет , который и является расстоянием от точки  до точки А. Имеем,  (см).

Итоги:

На этом уроке мы более подробно рассмотрели случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Узнали, что плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Сформулировали и доказали свойство и признак касательной плоскости. А также узнали, что прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.