Взаимное расположение сферы и плоскости

На этом уроке мы рассмотрим возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним, что такое сфера.

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса  с центром в точке  имеет вид:

В курсе планиметрии мы с вами рассматривали три случая взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от соотношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Вспомним их:

1)                Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

2)                Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3)                Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

В стереометрии же можно рассмотреть взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве.

Итак, давайте исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

Для этого введём следующие обозначения. Обозначим радиус сферы буквой , центр сферы буквой , а расстояние от её центра до некоторой плоскости альфа – буквой .

Введём систему координат . Затем построим плоскость , совпадающую с плоскостью .

Изобразим сферу с центром в точке , лежащей на положительной полуоси .

Обратите внимание, в этой системе координат точка , где  – расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости .

Отсюда получаем, что сфера имеет уравнение:

Плоскость  же совпадает с координатной плоскостью , а значит, её уравнение имеет вид: .

Если координаты какой-нибудь точки  удовлетворяют обоим уравнениям, то точка  лежит как в плоскости , так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы.

Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:

Подставим  во второе уравнение. Преобразуем его, тогда получим следующее уравнение:

Следовательно, в зависимости от соотношения  – расстояния от центра сферы до плоскости  и  – радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.

Рассмотрим первый случай. Если .

Тогда , и наше уравнение:  является уравнением окружности радиуса  с центром в точке  на плоскости .

Координаты любой точки  этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости , так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точками плоскости и сферы.

Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Сделаем вывод. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг. С приближением секущей плоскости к центру шара радиус сечения (круга) увеличивается.

Тогда расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно нулю, а в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара.

Определение:

Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной.

А круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом шара.

Если же секущая плоскость не проходит через центр шара, то расстояние от центра сферы до секущей плоскости  и .

Очевидно, что тогда радиус сечения будет меньше радиуса сферы.

Рассмотрим второй случай. Если .

Тогда , и уравнению  удовлетворяют только числа  и . Следовательно, только координаты точки  удовлетворяют обоим уравнениям, значит,  – единственная общая точка сферы и плоскости.

Сделаем вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

И рассмотрим третий случай. Если .

Тогда , и значит, уравнению  не удовлетворяют координаты никакой точки.

Сделаем вывод, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задание: отрезок  – высота тетраэдра . Выясните взаимное расположение сферы радиуса  с центром  и плоскости , если:

а)  см,  мм; б)  дм,  см; в)  см,  см.

Решение: чтобы выяснить взаимное расположение сферы и плоскости, мы должны рассмотреть соотношение расстояния от центра сферы до плоскости и радиус сферы.

В первом пункте, расстояние от центра сферы до плоскости  больше радиуса сферы.

Следовательно, сфера и плоскость не имеют общих точек, и значит, не пересекаются.

Во втором пункте, расстояние от центра сферы до плоскости  меньше радиуса сферы.

Значит, сфера и плоскость пересекаются по окружности.

И в последнем пункте, расстояние от центра сферы до плоскости  равно радиусу сферы.

А это говорит о том, что сфера и плоскость имеют только одну общую точку или иначе говоря, плоскость касается сферы.

Задача: шар пересечён плоскостью. Площадь сечения равна  см². Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно  см. Найдите радиус шара.

Решение: сечение шара плоскостью – круг, центр которого совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость сечения.

Значит, из центра шара О проведём перпендикуляр . Затем соединим точки  и . Получим прямоугольный треугольник , у которого гипотенуза .

По условию задачи  см,  см². Так как площадь круга , то получаем, что радиус сечения равен  (см).

Из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора находим:  (см). Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке мы рассмотрели случаи возможного взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве. И выявили, что: если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность; если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку; и если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.