Логарифмические уравнения

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом положительного числа  по основанию , где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить .

Обозначают: .

Таким образом, равенство  означает, что .

Вспомним также свойства логарифмов. Пусть , , , , а  – любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:

1.     ,

2.     ,

3.     .

Так какие же уравнения называют логарифмическими?

Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.

Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.

В первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по определению логарифма. Так решаются уравнения вида , где , . Они равносильны уравнению . При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только положительные значения, должно выполняться условие .

Решим уравнение: . Сразу отметим, что должно выполняться условие .  Воспользуемся определением логарифма и запишем: . Теперь возведём  в квадрат. Перенесём  в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: . Решим его. Вычислим дискриминант: . Тогда первый корень квадратного уравнения , второй – .

Мы будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?

Обязательно проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем  в неравенство: . Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство : . И тоже получаем верное неравенство.

А значит, и , и  являются корнями логарифмического уравнения.

Следующий метод – метод потенцирования.

Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том, что мы от уравнения вида , где ,  , переходим к уравнению . Причём должны выполняться условия  и .

Решим следующее уравнение: . Следует отметить, что должны выполняться условия:  и . Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем: . Перенесём  и  в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: . Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант: . Находим корни и получаем  и .

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень в первое неравенство и выполняем преобразования: . Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования: . Получаем, что  удовлетворяет каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Затем подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и получаем: . Следовательно,  не удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного логарифмического уравнения.

В ответ запишем: .

Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.

Посмотрите на уравнение. Здесь переменная  может принимать только положительные значения.

Так это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два. Давайте введём новую переменную . Тогда наше уравнение примет вид: . Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения:  и .

Теперь можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем:  и . Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем исходного логарифмического уравнения.

Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.

А сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который заключается в переходе от уравнения  к уравнению . То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.

Сразу отметим, что переменная  может принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию . Воспользуемся известным нам свойством  и в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма: . В правой части уравнения найдём значение логарифма: . Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма икс по основанию : . Отсюда получаем:  и . По определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Оба значения  больше нуля, а значит, и , и  являются корнями исходного уравнения.

И давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения и линейного уравнения:

Сразу отметим, что . Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как . Откуда . Подставим найденное значение во второе уравнение системы: . И, решив линейное уравнение, найдём .

А сейчас давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Решение.