Прежде,
чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом
положительного числа по
основанию
,
где
,
,
называется показатель степени, в которую надо возвести число
,
чтобы получить
.
Обозначают:
.
Таким
образом, равенство означает,
что
.
Вспомним
также свойства логарифмов. Пусть ,
,
,
,
а
–
любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:
1.
,
2.
,
3.
.
Так какие же уравнения называют логарифмическими?
Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.
Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.
В
первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по
определению логарифма. Так решаются уравнения вида ,
где
,
.
Они равносильны уравнению
.
При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только
положительные значения, должно выполняться условие
.
Решим
уравнение: .
Сразу отметим, что должно выполняться условие
.
Воспользуемся определением логарифма и запишем:
.
Теперь возведём
в
квадрат. Перенесём
в
левую часть уравнения и получим квадратное уравнение:
.
Решим его. Вычислим дискриминант:
.
Тогда первый корень квадратного уравнения
,
второй –
.
Мы
будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?
Обязательно
проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем в
неравенство:
.
Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство
:
.
И тоже получаем верное неравенство.
А
значит, и ,
и
являются
корнями логарифмического уравнения.
Следующий метод – метод потенцирования.
Потенцированием
называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении
логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства,
содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том,
что мы от уравнения вида ,
где
,
,
переходим к уравнению
.
Причём должны выполняться условия
и
.
Решим
следующее уравнение: .
Следует отметить, что должны выполняться условия:
и
.
Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем:
.
Перенесём
и
в
левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые:
.
Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант:
.
Находим корни и получаем
и
.
Теперь
проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень
в первое неравенство и выполняем преобразования: .
Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования:
.
Получаем, что
удовлетворяет
каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического
уравнения.
Затем
подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и
получаем: .
Следовательно,
не
удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного
логарифмического уравнения.
В
ответ запишем: .
Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.
Посмотрите
на уравнение.
Здесь переменная
может
принимать только положительные значения.
Так
это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два.
Давайте введём новую переменную .
Тогда наше уравнение примет вид:
.
Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно
этой теореме, можем записать, что
,
а
.
Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения:
и
.
Теперь
можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем: и
.
Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем
,
а из второго –
.
Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем
исходного логарифмического уравнения.
Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.
А
сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию
два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который
заключается в переходе от уравнения к
уравнению
.
То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.
Сразу
отметим, что переменная может
принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения
логарифмы по основанию
.
Воспользуемся известным нам свойством
и
в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма:
.
В правой части уравнения найдём значение логарифма:
.
Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма
икс по основанию
:
.
Отсюда получаем:
и
.
По определению логарифма из первого равенства получаем
,
а из второго –
.
Оба значения
больше
нуля, а значит, и
,
и
являются
корнями исходного уравнения.
И
давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения
и линейного уравнения:
Сразу
отметим, что .
Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как
.
Откуда
.
Подставим найденное значение во второе уравнение системы:
.
И, решив линейное уравнение, найдём
.
А сейчас давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание.
Решите уравнения: а) ; б)
; в)
.
Решение.
Напишите конспект