Логарифмические неравенства

Итак, вспомним, что логарифмической функцией называют функцию вида , где  – заданное число, , .

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:

1.     Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

2.     Множество значений логарифмической функции – это множество  всех действительных чисел.

3.     Логарифмическая функция не является ограниченной.

4.     Возрастает на промежутке , если , и убывает на промежутке , если .

5.     Если , то функция принимает положительные значения при , а отрицательные – при . Если же , то, наоборот, функция принимает положительные значения при , а отрицательные значения – при .

Ну а сейчас будем учиться решать логарифмические неравенства.

А разве мы не умеем их решать? При изучении логарифмической функции мы рассматривали неравенства вида:  и .

Так, например, неравенство  мы решаем следующим образом. Представим правую часть неравенства, то есть , в виде логарифма  по основанию : . Тогда запишем данное неравенство так: .

Мы только что вспомнили свойства логарифмической функции и можем сказать, что функция три определена при  и возрастает, так как . Тогда неравенство  выполняется при  и .

Изобразим множество решений на координатной прямой. При этом точки  и  изобразим «выколотыми», так как неравенства у нас строгие.

Видим, что общим промежутком является промежуток от  до , следовательно, решением исходного неравенства является .

Какие неравенства мы будем решать сегодня? Сегодня на уроке мы будем решать неравенства вида: .

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве возрастания и убывания логарифмической функции.

Если , то неравенство такого вида равносильно системе неравенств:

Если , то неравенство равносильно системе:

Давайте решим неравенство: .

В первую очередь мы с вами представим правую часть неравенства, то есть , в виде логарифма по основанию два: . Тогда мы можем переписать наше неравенство в виде: .

Видим, что основание логарифма больше единицы. А значит, данному неравенству будет равносильна система неравенств

Решаем эту систему неравенств. Решением первого неравенства является . Решением второго – .  Теперь изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой. Так как неравенства у нас строгие, то точки  и  будут «выколотыми».

Видим, что общим промежутком является промежуток от  до , следовательно, решением исходного неравенства является .

Теперь решим вот такое неравенство: .

Какой системе оно будет равносильно? Обратите внимание, что . А значит, данное неравенство равносильно системе:

Решаем эту систему. Решением первого неравенства является . Решением второго – . Решением третьего – .

Теперь изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой. Так как неравенства у нас строгие, то точки ,  и  будут «выколотыми».

Видим, что общим промежутком является промежуток от  до . А значит, решением является .

И давайте рассмотрим решение ещё одного неравенства: . Представим правую часть неравенства, то есть , в виде логарифма по основанию : . Тогда наше неравенство мы можем переписать так: .

Видим, что . А значит, данному неравенству будет равносильна система неравенств:

Перенесём во втором неравенстве  в левую часть и получим систему из двух квадратных неравенств:

Как нам её решить? Решим сначала первое неравенство: . Для этого найдём корни квадратного уравнения . Коэффициент при  равен , следовательно, это приведённое квадратное уравнение, а значит, его корни можем найти, используя теорему Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения:  и . Отметим эти значения на координатной прямой «выколотыми» точками, так как неравенство у нас строгое. Изобразим схематически параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при  положительный.

Нам нужны те значения , при которых левая часть неравенства больше нуля, тогда его решением будет  и .

Решим второе неравенство системы: . Найдём корни уравнения. Коэффициент при  равен , а значит, это квадратное уравнение является приведённым. Тогда по теореме Виета можем записать, что , а . Легко заметить, что этим равенствам удовлетворяют значения:  и . Отметим эти точки на координатной прямой. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Изобразим схематически параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при  положительный.

Так как нам нужны те значения , при которых левая часть неравенства больше либо равна нулю, то его решением будет  и .

Теперь, чтобы найти решение системы квадратных уравнений, изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой.

Видим, что оба неравенства системы выполняются одновременно  и .

Давайте выполним задание. Решите неравенства: а) ; б) ; в) .

Решение.