Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами логарифмов.
Итак, мы с вами уже научились переходить от показательной формы записи
равенств
к логарифмической
.
Связь этих двух форм записи, поскольку логарифм есть не что иное, как показатель степени, позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на уже известных вам свойствах показателей степени.
Рассмотрим,
например, произведение степеней с одинаковыми основаниями: .
Пусть
,
.
Теперь
давайте перейдём к логарифмической форме записи этих равенств. Тогда имеем и
. Отсюда
. По свойству
произведения степеней с одинаковыми основаниями, получим
А теперь от
показательной формы записи нашего равенства
перейдём к
логарифмической форме. Имеем
.
Так
мы с вами получили первое свойство логарифмов, которое позволяет заменять
логарифм произведения суммой логарифмов. Отметим, что в этом свойстве
обязательно выполняются следующие условия: ,
,
,
.
Теперь
давайте рассмотрим частное степеней с одинаковыми основаниями: . Пусть
,
. Перейдём к
логарифмической форме записи этих равенств. Имеем
и
. Тогда
. По свойству частного
степеней с одинаковыми основаниями, получим
. А теперь от
показательной формы записи равенства
перейдём к
логарифмической форме. Имеем
.
Таким
образом мы с вами получили второе свойство логарифмов, которое позволяет
заменять логарифм частного разностью логарифмов. Отметим, что в этом свойстве
обязательно выполняются следующие условия: ,
,
,
.
А
теперь рассмотрим возведение степени в степень: . Пусть
. Перейдём к
логарифмической форме записи этого равенства. Имеем
. Тогда
. По свойству возведения
степени в степень, получим
. А теперь от
показательной формы записи равенства
перейдём к
логарифмической форме. Имеем
.
Тем
самым мы с вами получили третье свойство логарифмов: логарифм степени равен
произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Отметим,
что в этом свойстве обязательно выполняются следующие условия: ,
,
,
.
Из третьего свойства вытекают следствия: логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня.
,
,
,
Логарифм,
основанием которого является степень числа а равен произведению единицы
делённой на показатель степени и логарифма числа по основанию а.
,
,
,
Выведенные нами свойства, являются основными свойствами логарифмов. Эти свойства широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы, а также при вычислениях и при решении уравнений. Заметим, что основные свойства логарифмов выполняются, как слева направо, так и справа налево.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание
первое. Вычислите: а) ; б)
;
в) ;
г)
.
Решение.
Задание
второе. Вычислите значение выражения .
Решение.