Свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами логарифмов.

Итак, мы с вами уже научились переходить от показательной формы записи

равенств  к логарифмической .

Связь этих двух форм записи, поскольку логарифм есть не что иное, как показатель степени, позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на уже известных вам свойствах показателей степени.

Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковыми основаниями: .

Пусть , .

Теперь давайте перейдём к логарифмической форме записи этих равенств. Тогда имеем  и . Отсюда . По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями, получим  А теперь от показательной формы записи нашего равенства  перейдём к логарифмической форме. Имеем .

Так мы с вами получили первое свойство логарифмов, которое позволяет заменять логарифм произведения суммой логарифмов. Отметим, что в этом свойстве обязательно выполняются следующие условия: , , , .

Теперь давайте рассмотрим частное степеней с одинаковыми основаниями: . Пусть , . Перейдём к логарифмической форме записи этих равенств. Имеем  и . Тогда . По свойству частного степеней с одинаковыми основаниями, получим . А теперь от показательной формы записи равенства  перейдём к логарифмической форме. Имеем .

Таким образом мы с вами получили второе свойство логарифмов, которое позволяет заменять логарифм частного разностью логарифмов. Отметим, что в этом свойстве обязательно выполняются следующие условия: , , , .

А теперь рассмотрим возведение степени в степень: . Пусть . Перейдём к логарифмической форме записи этого равенства. Имеем . Тогда . По свойству возведения степени в степень, получим . А теперь от показательной формы записи равенства  перейдём к логарифмической форме. Имеем .

Тем самым мы с вами получили третье свойство логарифмов: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Отметим, что в этом свойстве обязательно выполняются следующие условия: , , , .

Из третьего свойства вытекают следствия: логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, делённому на показатель корня.

, , ,

Логарифм, основанием которого является степень числа а равен произведению единицы делённой на показатель степени и логарифма числа  по основанию а.

, , ,

Выведенные нами свойства, являются основными свойствами логарифмов. Эти свойства широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы, а также при вычислениях и при решении уравнений. Заметим, что основные свойства логарифмов выполняются, как слева направо, так и справа налево.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание первое. Вычислите: а) ;       б) ;    
в) ;                       г) .

Решение.

Задание второе. Вычислите значение выражения .

Решение.