Десятичные и натуральные логарифмы

При решении логарифмов пока мы с вами сталкивались лишь с логарифмами, у которых были одинаковые основания.

Однако, зачастую приходится искать значения выражений, которые составлены из логарифмов по разным основаниям.

…

Заметим, что действия с логарифмами возможны только при одинаковых основаниях!

Тогда как поступают, если основания у логарифмов разные? Что нужно сделать, чтобы найти значения таких выражений? Так вот для этого вводятся десятичные и натуральные логарифмы, а также формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Среди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число 10. Логарифмы по такому основанию называют десятичными. Другими словами, десятичный логарифм числа  есть решение уравнения

 Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: , читают «десятичный логарифм числа ».

Что же касается натурального логарифма числа, то так называют логарифм этого числа по основанию , где  – иррациональное число, приближённо

Натуральный логарифм также имеет особое обозначение: , читают так: «натуральный логарифм числа ».

Кстати, иррациональное число е играет важную роль в математике и её приложениях. Число е можно представить как сумму:

……           

Все свойства, которые мы рассматривали для логарифмов по произвольному основанию, справедливы для десятичного и натурального логарифмов.

1., .                                                       1., .

2. .                                                                        2. .

 3. .                                                                          3. .

4. , , .                            4. , , .

5. , , .                              5. , , .

6. , , .                                    6. , , .

7. , , .                                   7. , , .

А теперь давайте разберёмся, как вычисляют десятичный и натуральный логарифмы. Проще всего значение логарифма можно найти с помощью инженерного калькулятора.

Итак, на инженерном калькуляторе для вычисления значения десятичного логарифма есть кнопка «log», для натурального логарифма – кнопка «ln».

Давайте посмотрим, как находят значения следующих логарифмов при помощи инженерного калькулятора: ; .

Найдём значение десятичного логарифма числа .

Для этого наберём число  и нажмём кнопку «log». Видим, на табло у нас высветились следующие цифры: …

На практике, конечно, мы округлим это число до нужного разряда.

Теперь найдём значение . Для этого наберём 15 и нажмём кнопку «ln». На табло у нас высветились следующие цифры: ….

Ранее мы с вами уже говорили, что с появлением логарифмов многие учёные занялись составлением логарифмических таблиц. Так, например, первые таблицы десятичных логарифмов для чисел от 1 до 1000 опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками.

Давайте рассмотрим принцип использования такой таблицы на примере двузначной таблицы десятичных логарифмов. На экране вы видите таблицу, в которой указаны значения десятичных логарифмов чисел от 1 до .

Левый столбец таблицы отвечает за число целых, а верхняя строка – за число десятых. Давайте найдём значение .

Итак, значение этого логарифма будет расположено на пересечении строки с числом 7 целых и столбца с числом 3 десятых. Как видим, значение нашего логарифма совпало с ранее найденным нами при помощи инженерного калькулятора, оно  .

А теперь найдём значение  при помощи таблицы натуральных логарифмов российского математика Брадиса.

На экране вы видите таблицу, в которой указаны значения натуральных логарифмов чисел от 1 до 99. Здесь левый столбец таблицы отвечает за число десятков, а верхняя строка – за число единиц.

Итак, значение  будет расположено на пересечении строки с числом 1 и столбца с числом 5. Как видим, значение нашего логарифма совпало с ранее найденным нами при помощи инженерного калькулятора, оно приближённо равно .

А как же быть с вычислением логарифмов по другим основаниям? Ведь при помощи инженерного калькулятора и таблиц логарифмов мы вычисляли только значения десятичных и натуральных логарифмов. Оказывается, достаточно знать значения только десятичных и натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используют формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Сейчас мы её с вами выведем. Итак, пусть .

Перейдём к показательной форме записи этого равенства, то есть получим .

Теперь прологарифмируем это равенство по основанию с. Другими словами, найдём логарифмы с основанием  обеих частей этого равенства. Получим:.

Применим к левой части равенства свойство логарифма степени, получим  .

Теперь разделим обе части равенства на . Получим .

Так как , то имеем .

Получившееся равенство и есть формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Отметим, что эта формула верна, если выполняются следующие условия:

, , , , .

Из формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию следует формула .

Также из формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию при  и при  получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам.

 и

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Найдите значение .

Решение.

Исходя из формулы  , имеем логарифм

При помощи калькулятора вычислим значения десятичного  – оно  

и   .

Подставим найденные значения в формулу перехода. Получим, что  .

Задание 2. Пусть , . Выразите через   и   число  .

Решение.