Площадь треугольника

Прежде, чем рассматривать вопрос о нахождении площади треугольника, вспомним, что высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

Теперь докажем, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Доказательство

Пусть  – треугольник.

Докажем, что .

Рассмотрим  и .

,как противолеж. стороны  ,

 – общая.

 по третьему признаку.

Значит, .

,

,

.

.

.

Что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Возьмём некоторый прямоугольный треугольник ABC. Катет AC – это и есть высота, проведённая к стороне BC, которая также является катетом.

А тогда, так как площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней, получаем, что площадь треугольника
, то есть равняется половине произведения длин катетов рассматриваемого треугольника.

Также следует, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

На рисунке перпендикуляр BE, проведённый к прямой AC, является высотой треугольника ABC и  треугольника CBD. 

,

.

, то есть как длины сторон треугольников, к которым проведены высоты.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. Пусть S – площадь треугольника ABC, а S₁ – площадь треугольника A₁B₁C₁. Углы А и A₁ этих треугольников равны.

 – площадь ,

 – площадь .

.

Докажем, что .

,

,

,

.

Таким образом, теорема доказана.

Закрепим новый материал на практике.

Задача. Найдите площадь треугольника , если длина стороны  см, а высота , проведённая к этой стороне, в два раза её меньше.

Решение.

,

 (см).

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Вычислите площадь треугольника , если высота  см, отрезок  см, а .Решение.

Решение

 – прямоугольный,

 так как  – высота.

,

тогда .

Значит,  – равнобедренный, тогда  см.

 (см).

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся как , а его площадь равна  см².

Решение.

,

,

,  (см).

 (см).

Ответ:  см,  см.

Итак, на этом уроке мы доказали, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Убедились, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. А также, что если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

Доказали теорему: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Также мы решили несколько задач для закрепления изученного материала.