Площадь параллелограмма

На этом уроке мы выясним, как найти площадь параллелограмма. Но прежде следует сказать, что высотой параллелограмма, проведённой к стороне, называется перпендикуляр, проведённый из любой точки противолежащей стороны к прямой, содержащей эту сторону.

Например, в параллелограмме ABCD каждый из перпендикуляров АЕ, МN и BК, проведённых соответственно из точек А, М и B к прямой, содержащей сторону CD, является высотой параллелограмма, проведённой к этой стороне.

Перпендикуляры АF и ОP, проведенные соответственно из точек А и О к прямой, содержащей, сторону BC, являются высотами этого параллелограмма, проведёнными к стороне BC.

А теперь давайте докажем, что площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Доказательство.

Пусть  – параллелограмм.

Докажем, что .

 – прямоугольник.

Докажем, что .

Рассмотрим прямоугольные  и .

 как противолеж. стороны .

 как соотв. при  и секущей .

 по гипотенузе и острому углу.

Значит, .

,

.

Следовательно, .

,

тогда .

 как противолеж. стороны ,

следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Теперь для закрепления материала решим несколько задач.

Задача. Длина стороны параллелограмма равна  см, а высота, проведённая к этой стороне, меньше её насм. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

 см.

 – высота.

 (см).

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. В параллелограмме сторона  см, сторона  см, а . Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

Проведём из вершины А высоту АЕ.

Треугольник АЕD является прямоугольным.

 – прямоугольный.

Так как ,

 (см).

 (см).

,

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Высоты, проведённые к сторонам  и  параллелограмма , равны  см и  см соответственно. Найдите длину стороны , если  см.

Решение.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. CE – высота, проведённая к стороне AD и равная 3 сантиметрам. CK – высота, проведённая к стороне AB и равная 2 сантиметрам.

Найдём площадь данного параллелограмма.

,

 (см²).

,

,

,

 (см).

Ответ:  см.

Задача. Длина стороны  параллелограмма  равнасм, а его периметр равен 32 см. Найдите высоту, проведённую к стороне , если высота , проведённая к стороне , равна 3 см.

Решение.

,

,

,

,

,

,

 (см).

,

 3 (см²).

,

,

,

 (см).

Ответ:  см.

На этом уроке мы с вами выяснили, что называют высотой параллелограмма, а также как находить площадь параллелограмма.