Площадь прямоугольника

На предыдущем уроке мы говорили, что площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник. Также выяснили, что существуют различные единицы измерения площадей, а именно: квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный метр и так далее… А ещё мы отметили, что площадь всегда величина положительная. Кроме этого следует напомнить, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.

На этом уроке мы будем вести речь о площади прямоугольника.

Вам уже известно, что площадь прямоугольника со сторонами  и  вычисляется по формуле .

Давайте докажем это.

Возьмём прямоугольник со сторонами a и b и площадью S. Достроим его до квадрата со стороной a+b

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь получившегося квадрата будет равна .

С другой стороны, площадь этого квадрата равна .

Преобразуем получившееся выражение.

,

,

,

,

,

.

Что и требовалось доказать.

Для закрепления материала решим несколько задач.

Задача. Периметр прямоугольника  равен  см. Сторона  на  см больше стороны . Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

Так как по условию задачи сторона AB на 5 сантиметров больше стороны BC, то имеет место равенство см.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то

.

Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника равны, то есть

, .

.

,  ,

,

,

,

 (см).

Тогда  (см).

Теперь, зная длины смежных сторон прямоугольника, найдём его площадь.

 (см²).

Ответ:  см².

Задача. Как изменится площадь прямоугольника, если одну пару противоположных сторон увеличить в четыре раза, а вторую – уменьшить в два раза?

Решение.

,

Ответ: увеличится в два раза.

Задача. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна  см², а одна сторона в два раза больше другой.

Решение. Пусть у прямоугольника а – меньшая сторона, b – большая. Так как по условию задачи одна сторона в два раза больше другой, то имеет место равенство: .

,

,

,

,

 (см).

Тогда  (см).

Ответ:  см,  см.

Итак, на этом уроке мы доказали, что площадь прямоугольника со сторонами а и и вычисляется по формуле: S=a·b. А также закрепили это на практике.