Понятие площади многоугольника

В повседневной жизни нам часто встречается понятие площади. Мы говорим о площади земельного участка, площади озера, площади комнаты.

На этом уроке мы будем вести речь о площади многоугольников.

Площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник.

Прежде, чем говорить об измерении площади многоугольника, давайте вспомним, как мы измеряем длину отрезка.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения.

Так, например, определим длину некоторого отрезка AB, приняв за единицу измерения сантиметр.

Видим, что сантиметр в данном отрезке укладывается ровно четыре раза, а значит, его длина равна четырём сантиметрам.

А вот в отрезке CD сантиметр укладывается пять раз, но при этом получается остаток.

 В таком случае надо разделить единицу измерения на равные части, обычно делят на десять частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD= 5,6 см.

Аналогично проводится и измерение площадей.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной один сантиметр.

Такой квадрат называют квадратным сантиметром и обозначают следующим образом см².

Таким же образом определяется:

Квадратный миллиметр (мм²)

Квадратный метр (м²)

Квадратный километр (км²)

Отметим, что площадь обозначается буквой S.

Давайте измерим площадь прямоугольника ABCD.

В нём квадратный сантиметр укладывается ровно восемь раз. А значит,  см².

В прямоугольной трапеции ABCD квадратный сантиметр укладывается два раза, но при этом остается часть трапеции – треугольник BDE, в котором  квадратный сантиметр не укладывается целиком.

Чтобы измерить площадь этого треугольника, мы разобьём квадрат со стороной один сантиметр на более мелкие квадратики со стороной один миллиметр.

При этом у нас получится сто маленьких квадратиков.

То есть в одном сантиметре квадратном умещается сто миллиметров квадратных.

По-другому,  см² = 100 мм². Так как  см мм, то см² мм ∙  мм мм².

.

Теперь поместим наш треугольник BDE в этот квадрат.

Видим, что квадратный миллиметр укладывается целиком двадцать семь раз, но остается ещё часть, в которой квадратный миллиметр не укладывается целиком.

Мы могли бы продолжить деление квадратного миллиметра на ещё более мелкие квадратики, чтобы получить более точный результат, но  давайте пока остановимся и запишем результат приблизительно.

Итак,  (см²).

Рассмотренный процесс измерения площадей не совсем удобен. И на практике для вычисления площадей геометрических фигур применяются специальные формулы, с которыми мы с вами познакомимся в дальнейшем.

А теперь рассмотрим свойства площадей.

Возьмем два равных многоугольника.

Видим, что единица измерения площадей укладывается в них одинаковое число раз, а значит, равные многоугольники имеют равные площади.

Следующий многоугольник состоит из трёх многоугольников, а тогда его площадь можно найти как сумму площадей фигур F₁F₂F₃.

То есть, если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Рассмотренные два свойства являются основными свойствами площадей.

И ещё одно свойство: площадь квадрата равна квадрату его стороны. Если сторона квадрата равна , то его площадь равна  ().

Действительно так. Давайте возьмем квадрат, сторона которого равна 3 сантиметра.

В нём укладывается ровно девять квадратных сантиметров. То есть его площадь равна 9 см².

Если находить площадь данного квадрата по формуле, то, подставив вместо а 3 тоже получим 9 см².

Также следует знать, что площадь всегда величина положительная.