Нахождение дроби от числа

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.

– Нам задали подготовить доклад о животном, которое является хозяином леса, – ответил Саша.

– Ну, это животное всем известно! – воскликнул Паша. – Хозяином леса считается медведь.

– В точку! – согласился Саша. – А ты знаешь, что эти чудные создания обитают не только на севере?

– Да? – удивился Паша. – А где они ещё живут?

– В южном полушарии нашей планеты медведи тоже водятся, правда, другие их виды, – поделился информацией Саша. – На данный момент на планете насчитывается 8 видов медведей, и все они удивительны. Да и вообще, медведь – один из самых грациозных хищников в дикой природе. Он считается довольно древним зверем. Представляешь, предки медведей появились на территории Европы 22 000 000 лет назад!

– Ого! – удивился Паша. – И вправду, это очень древние животные.

– Но самое интересное, что я нашёл в энциклопедии, – продолжил Саша, – это то, что самые крупные экземпляры медведей достигают веса 750 килограмм. Представляешь, какие они огромные! А вот детёныши медведей рождаются очень мелкими. В энциклопедии сказано, что масса новорождённого медвежонка составляет  от массы взрослого медведя. Вот только интересно, это сколько?

– В пятом классе мы решали похожие задачи, – вспомнил Паша. – Для решения этой задачи сначала нужно вычислить, сколько килограммов составляет  часть массы взрослого медведя. Получим дробь  килограмма. Затем нужно найти, сколько килограммов составляет  частей массы взрослого медведя. Получим  килограмма. Мы знаем, что в 1 кг = 1000 г.

– Тогда получается, что новорождённый медвежонок весит 500 грамм? – удивился Саша. – Разве могут медвежата родиться такими крошечными? Паша, ты уверен, что всё правильно посчитал?

– Вроде бы, да… – задумался Паша. – Но давай лучше уточним у Мудряша.

– Ребята, прежде чем я расскажу вам о нахождении дроби от числа, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Чтобы ответить на вопрос, какова масса новорождённого медвежонка, нужно найти  от числа 750. Подобные задачи называют задачами на нахождение дроби от числа. Нахождение дроби от числа выполняется тогда, когда известно некоторое число (целое), но неизвестна часть этого числа, которая выражена количеством долей от целого.

– Вы правильно вычислили массу новорождённого медвежонка, – продолжил Мудряш, – однако найденный ответ — 500 грамм — можно было получить и другим способом. Для этого достаточно число 750 умножить на дробь .

– Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило. Запомните! – сказал Мудряш. – Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

– Продолжу тему медведей, – улыбнулся Мудряш. – Давайте решим такую задачу: длина крупных самцов белых медведей может достигать 3 метров, в свою очередь, длина новорождённого медвежонка составляет 8 % длины взрослого медведя. Вычислите длину новорождённого медвежонка.

– 8 % мы можем записать в виде десятичной дроби 0,08, – начал Паша. — Тогда 3 умножить на 0,08 равно 0,24 метра.

– Но ведь 1 метр равен 100 сантиметрам, – заметил Саша. – Значит, длина новорождённого медвежонка равна 24 сантиметрам.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Этот пример иллюстрирует следующее правило. Запомните! – сказал Мудряш. – Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и решим несколько задач.

Задача первая: в шестых классах учится  часть всех учащихся школы, причём  из них – девочки. Сколько девочек учится в шестых классах, если всего в школе 910 учеников?

Решение: нам известно, что всего в школе учится 910 учеников, из них  часть – это ученики шестых классов. Значит, 910 умножим на . Получим 65 шестиклассников. В условии задачи сказано, что в шестых классах учатся  девочек. Следовательно, нужно 65 умножить на . Получим, что в шестых классах учатся 26 девочек. Не забудем записать ответ.

Вторая задача: в доме 100 квартир (одно-, двух- и трёхкомнатных). Однокомнатные квартиры составляют  часть всех квартир, а двухкомнатные –  оставшихся квартир. Сколько в этом доме трёхкомнатных квартир?

Решение: нам известно, что всего в доме 100 квартир и  часть из них – это однокомнатные квартиры. Значит, 100 умножим на . Получим, что в доме 25 однокомнатных квартир. Тогда в доме остаётся ещё 75 двух- и трёхкомнатных квартир. В условии задачи сказано, что  из этих оставшихся квартир – двухкомнатные. Значит, 75 умножим на . Получим, что в доме 45 двухкомнатных квартир. Тогда в доме 70 одно- и двухкомнатных квартир. Следовательно, в доме 30 трёхкомнатных квартир. Запишем ответ.

Следующая задача: в классе 36 учеников. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если  числа всех мальчиков равны половине числа всех девочек?

Решение: пусть икс девочек в классе. Тогда 36 минус икс – мальчиков в классе. Известно, что  числа всех мальчиков равны половине числа всех девочек. Составим уравнение: . Решим это уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным свойством умножения относительно вычитания. Затем приведём дроби к наименьшему общему знаменателю равному 10. Дальше сгруппируем в левой части слагаемые с переменной. Получим уравнение . Или . Запишем наши дроби в виде десятичных дробей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Тогда получаем, что . То есть в классе учится 16 девочек. А значит,  мальчиков – учится в классе. Не забудем записать ответ.

И последняя задача: в корзинке лежит 80 апельсинов и мандаринов. Апельсины составляют 45 % всех фруктов в корзинке. Сколько мандаринов надо вынуть из корзинки, чтобы апельсины составили 60 %?

Решение: запишем 45 % в виде десятичной дроби. Тогда в корзинке лежит 80 умножить на 0,45 равно 36 апельсинов. Значит, в корзинке лежит  мандарина. Пусть из корзинки вынули х мандаринов и апельсины составили 60 % от числа всех фруктов. Тогда мандарины составляют 40 % от числа всех фруктов. В свою очередь, мандаринов стало . Поскольку 40 % от числа всех фруктов — это , то можем составить уравнение: .

Преобразуем это уравнение. В левой части раскроем скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно вычитания. Получим . Сгруппируем слагаемые с переменной в левой части уравнения, а без переменной – в правой. Получим . Найдём неизвестный множитель. Отсюда . То есть из корзинки нужно вынуть 20 мандаринов.