Умножение дробей

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.

– Пытаюсь посчитать, сколько корма нужно моему коту Ваське на неделю, – ответил Саша.

– И как ты это собираешься высчитать? – удивился Паша.

– Я заметил, что каждый день Васька съедает по  пакетика корма, – продолжил Саша. — Значит, чтобы посчитать, сколько корма понадобится коту Ваське на неделю, нужно к  прибавить  прибавить  прибавить  прибавить  прибавить  и ещё раз прибавить . Тогда получается, что за неделю кот Васька съедает  пакетика корма или 2 пакета и  пакета корма.

– Ну и много же он у тебя ест! – заметил Паша. – Смотри: у тебя получилась сумма из 7 равных слагаемых, а мы уже знаем, что такую сумму можно записать короче с помощью произведения, то есть нужно просто  умножить на 7.

– Ты хочешь сказать, что произведение  и 7 равно ? – решил уточнить Саша.

– Получается так, – задумался Паша. – А давай лучше уточним у Мудряша, как умножают дроби.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу об умножении дробей, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Чтобы ответить на вопрос «Сколько корма потребуется коту Ваське на неделю?», нужно посчитать, сколько корма он съест за 7 дней. Так как каждый день Васька съедает одинаковое количество корма –  пакетика, то можно семь раз сложить дроби , а можно найти произведение  и 7. Ведь мы знаем, что действие нахождения суммы одинаковых слагаемых называется умножением. Тогда получается, что за неделю кот Васька съест  или  пакетика корма.

– Этот пример иллюстрирует следующее правило, – сказал Мудряш. – Запомните! Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. В буквенном виде это правило записывают так: . Также верными являются следующие равенства: , .

– А если нужно умножить дробь на дробь, – решили уточнить мальчишки, – то как быть в этом случае?

– Чтобы лучше разобраться, давайте рассмотрим такой пример, – предложил Мудряш. – Пусть есть прямоугольник с длиной  дециметра и шириной  дециметра. Найдём площадь этого прямоугольника.

– Это сложная задача, – задумались мальчишки. – Ведь площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. То есть площадь этого прямоугольника равна  умножить на , а мы ещё не умеем умножать дроби.

– Сейчас вы всему научитесь, – улыбнулся Мудряш. – Для начала давайте начертим квадрат со стороной 1 дециметр. Так как у нашего прямоугольника длина  дециметра, то разделим одну сторону квадрата на 5 одинаковых частей и закрасим 4 части. Ширина нашего прямоугольника  дециметра. Значит, другую сторону квадрата разделим на 3 равные части и закрасим 2 из них. Скажите, из скольких частей теперь состоит первоначальный квадрат?

– Так как одну сторону квадрата мы разделили на 5 равных частей, а вторую – на 3, то весь квадрат разделён на 15 одинаковых частей, – ответил Паша.

– Правильно! – согласился Мудряш. – А из скольких частей состоит заданный прямоугольник?

– Прямоугольник состоит из 8 равных частей, – ответил Саша.

– Хорошо! – продолжил Мудряш. — Нетрудно заметить, что площадь нашего прямоугольника равна  дм². Мы с вами уже говорили, что площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Следовательно,  умножить на  равно .  

– Этот пример иллюстрирует следующее правило, – сказал Мудряш. – Запомните! Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей. В буквенном виде это правило записывают так: .

– Обычно вначале обозначают произведение числителей и знаменателей, – продолжил Мудряш, – затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби выделяют целую часть. Если необходимо найти произведение двух смешанных чисел, то сначала надо записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Давайте потренируемся и найдём произведение следующих дробей.

–  умножить на , – начал Саша. – Запишем произведение числителей и знаменателей. Сокращать нам здесь нечего. Значит, выполним умножение. Получим дробь .

– Найдём следующее произведение, – продолжил Паша. – Запишем произведение числителей и знаменателей этих дробей. Можем сократить 13 и 26 на 13, и 5 и 10 на 5. Тогда получим дробь .

– И найдём последнее произведение, – сказал Саша. – Запишем произведение числителей и знаменателей дробей. Можно сократить 5 и 5 на 5, и 6 и 6 на 6. Тогда получим дробь , или просто 1.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Вы знаете, что для натуральных чисел выполняются переместительное свойство умножения, сочетательное свойство умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения и распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Эти же свойства умножения верны и для дробей.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: выполните действия: а) ;      б) ;       в) .

Решение: найдём произведение . Мы уже знаем: чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Сократим 40 и 15 на 5. Получим дробь . Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Выделим целую часть. В результате получим .

Перейдём к следующему произведению . Запишем произведение числителей и знаменателей наших дробей. Можем сократить 5 и 5 на 5, 3 и 6 на 3, 2 и 2 на 2. В результате получим дробь .

И найдём последнее произведение . Здесь удобно воспользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения. Запишем произведения числителей и знаменателей дробей. В первом произведении можем сократить 12 и 12 на 12, во втором – 12 и 8 на 4. Получим сумму дробей  и . Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю равному 38. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 1. Получим сумму дробей  и . Воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Получим дробь . Можем сократить её на 19. В результате получим дробь .

Перейдём к следующему заданию: найдите значение выражения  при .

Решение: подставим вместо а указанное значение. Вычислим первое произведение. Видим: у нас множители являются смешанными числами. Значит, представим их в виде неправильных дробей. Тогда первый множитель равен , второй – . Запишем произведение числителей и знаменателей этих дробей. Можем сократить числитель и знаменатель на 3. Получим дробь . Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Выделим целую часть. Получим .

Перейдём ко второму произведению. Второй множитель запишем в виде неправильной дроби . Выполним умножение дроби на натуральное число. Получим дробь . Выделим целую часть и получим .

Вычислим сумму смешанных чисел  и . Помним, что при сложении смешанных чисел целые части складываем отдельно и дробные части складываем отдельно. Тогда получим . Пока сокращать ничего не будем.

Осталось вычислить разность смешанных чисел  и . В результате получим .