Взаимно обратные числа

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.

– Решаю анаграммы, – ответил Саша. – Смотри, как много я решил. А вот на этой застрял… – загрустил Саша.

– Давай попробуем вместе, – предложил Паша. – Здесь написано, что так называют числа, произведение которых равно единице. Что-то не припомню я таких чисел, – задумался Паша. – Ну, не беда. Попробуем сложить из этих букв слова. Смотри: из букв первого слова можно составить слово «взаимно».

– Точно! – обрадовался Саша. – А из последнего – слово «числа».

– Осталось расшифровать второе слово, – продолжил Паша.

– Я попробую, – загорелся Саша. – Батон… Бетон… Набор… Тенор… – стал перечислять он. – Но что-то всё не то получается!

– Мне кажется, я понял, – сказал Паша. – Это слово «обратные».

– Точно! – обрадовался Саша. – Тогда получается, что здесь зашифрована фраза «взаимно обратные числа»? – удивился он. – Что это за числа такие?

– В условии у тебя написано, что так называют числа, произведение которых равно единице, – сказал Паша.

– И какие же это числа надо так умножить, чтобы получить единицу? – недоумевал Саша.

– Не знаю, – задумался Паша, – но точно знаю, кто нам сможет объяснить.

– Ребята, прежде чем я расскажу вам о взаимно обратных числах, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Давайте рассмотрим дробь . Если её «перевернуть», то есть поменять местами числитель и знаменатель, то получим дробь . Полученную дробь называют обратной к дроби . Понятно, что если из данных двух дробей первая обратна ко второй, то вторая обратна к первой. То есть и дробь  обратна к дроби . Поэтому про такие дроби можно говорить, что это дроби, обратные друг к другу.

– Может, вы сможете привести примеры обратных друг к другу дробей? – спросил у ребят Мудряш.

– Дроби  и ,  и , – начал Саша.

– Дроби  и ,  и , – продолжил Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – А теперь давайте попробуем перемножить наши обратные друг к другу дроби и посмотрим, что же получится.

–  умножим на , – начал Паша. – Запишем произведение числителей и знаменателей этих дробей. Сократим числитель и знаменатель на 3, затем на 5. Получим дробь , или 1.

– Перейдём к следующей паре дробей  и , – продолжил Саша. – Запишем произведение числителей и знаменателей этих дробей. Сократим сначала на 4, потом – на 7. Тоже получим дробь , или 1.

– Найдём произведение дробей  и , – сказал Паша. – Запишем произведение числителей и знаменателей. Сократим числитель и знаменатель на 10, затем на 11. Снова получим дробь , или 1.

– Перейдём к следующему произведению  и , – сказал Саша. — Запишем произведение числителей и знаменателей этих дробей. Сократим сначала на 4, потом на 5. И опять получим дробь , или 1.

– Осталось вычислить произведение дробей  и , – сказал Паша. –  — это же просто 100. Значит, умножим дробь  на 100. Затем сократим. И снова получим дробь , или 1.

– Всё правильно посчитали, – сказал Мудряш. – Какой вывод можно сделать?

– Произведение дробей, обратных друг к другу, равно единице, – сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Запомните! Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

– Получается, что обратные друг к другу дроби являются взаимно обратными числами? – решили уточнить мальчишки.

– Верно, – ответил Мудряш. – Числа  и  – взаимно обратные, так как их произведение равно 1.  и  — тоже взаимно обратные числа.  и  – взаимно обратные числа.  и  – взаимно обратные числа.  и  – взаимно обратные числа.

– А теперь проверьте, будут ли взаимно обратными числами следующие пары чисел, – предложил Мудряш.

–  и  – взаимно обратные числа, – начал Паша. – Если мы запишем данные десятичные дроби в виде обыкновенных, то убедимся, что их произведение .

– Следующая пара чисел —  и , – продолжил Саша, – тоже взаимно обратные числа. Второе число смешанное, если его записать в виде неправильной дроби, то увидим, что произведение .

–  и  – взаимно обратные числа, – сказал Паша. – Десятичную дробь  представим в виде обыкновенной дроби . Можем сократить числитель и знаменатель дробной части на 2. Получим смешанное число . Затем запишем это число в виде неправильной дроби . Найдём произведение дробей. Видим: произведение этих чисел также равно 1.

– Всё верно! – согласился Мудряш. – Запомните! Числом, обратным единице, является само число один. А вот для числа ноль обратного числа не существует. Обратным числу  является число . Действительно, ведь .

– А какое число будет обратно натуральному числу, например 5? – спросили ребята.

– Поскольку любое натуральное число эн можно представить в виде дроби , то можно сделать следующий вывод. Если  – натуральное число, то обратным ему является число .

– Это значит, что числу 5 обратным будет число ? – уточнили мальчишки.

– Правильно! – согласился Мудряш. – А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и решим несколько заданий.

Задание первое: найдите число, обратное к числу: а) ;      б) ;       в) ;        г) .

Решение: запишем число 0,5 в виде обыкновенной дроби . Сократим числитель и знаменатель этой дроби на 5. Получим дробь . Тогда искомое число , или просто 2.

1,7 равна смешанному числу . В свою очередь, смешанное число  равна неправильной дроби . Тогда искомое число — .

Следующее число — . Искомым будет число .

И последнее число — . Запишем его в виде неправильной дроби . Тогда обратным числу  является число .

Следующее задание: будут ли взаимно обратными числа: а)  и ;      б)  и ;       в)  и ;        г)  и ?

Решение: чтобы ответить на вопрос, будут ли числа являться взаимно обратными, нужно убедиться, что их произведение равно 1. Первая пара чисел 0,4 и 2,5. Найдём их произведение. Оно равно 1. Следовательно, числа 0,4 и 2,5 – взаимно обратные.

Следующая пара чисел — 0,2 и 2. Сразу видим, что эти числа не будут являться взаимно обратными, так как их произведение не равно 1.

Перейдём к следующей паре чисел. Смешанное число  запишем в виде неправильной дроби . Десятичную дробь 0,9 представим в виде обыкновенной дроби . Найдём произведение дробей. Получим дробь . Видим: произведение не равно 1, значит, числа  и 0,9 не являются взаимно обратными числами.

И рассмотрим последнюю пару чисел. Десятичную дробь 1,234 запишем смешанным числом . Можем сократить дробную часть на 2. Получим смешанное число . Затем представим это число в виде неправильной дроби . Найдём произведение дробей  и . Видим: произведение этих дробей равно 1, следовательно, числа 1,234 и  являются взаимно обратными числами.