Координаты вектора

Ранее вы уже сталкивались с координатами, но указывали их для точек. При этом работали в прямоугольной координатной плоскости, для задания которой необходимо было провести две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными на них направлениями (их называют координатными осями) и выбрать единицу измерения на каждой из осей.

Это и позволяло определить координаты любой точки.

На этом уроке нам предстоит выяснить, что называют координатами вектора.

С прошлых занятий вам известно, что любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам.

От точки О начала координат отложим векторы , длины которых равны единице (в дальнейшем будем называть такие векторы единичными), так, чтобы направление вектора  совпадало с направлением оси x, а направление вектора  совпадало с направлением оси y.

Тогда векторы   будем называть координатными векторами. Понятно, что любой вектор  можно разложить по векторам . Причём коэффициенты разложения, числа x и y, определяются единственным образом.

Так вот коэффициенты разложения вектора  по координатным векторам называют координатами вектора  в данной системе координат.

Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым будем записывать коэффициент разложения x, а вторым — y.

На одном из прошлых занятий мы разлаживали векторы, изображённые в координатной плоскости по векторам .

Пользуясь этими разложениями, запишем координаты данных векторов.

Итак, вектор  имеет координаты .

Вектор   имеет координаты .

Координатами вектора  являются числа  ..

Ну, а координатами вектора  будут числа .

Обратите внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам равны нулю. Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты 0 0, причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения. Таким образом, получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим ещё один особенный случай — противоположные векторы.

Их разложения противоположны. Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Можем подытожить, что координаты равных векторов соответственно равны, а координаты противоположных векторов соответственно противоположны.

Пользуясь полученными выводами, для каждого из данных векторов запишем противоположный и укажем его координаты.

; ; ; ; .

Задача. Разложить векторы по координатным векторам  и , указать их координаты.

Начнём с вектора . Его разложение . Значит, его координатами будут числа 7 и 2.

Далее запишем разложение вектора . Коэффициенты разложения 6 и -1 являются его координатами.

Вектор . Коэффициенты разложения равны 0 и 3. Значит, вектор .

Следующим рассмотрим вектор . Значит, координаты вектора .

Далее обратим своё внимание на вектор . Тогда координаты данного вектора .

Запишем разложение вектора . Значит, он имеет координаты .

Последним рассмотрим вектор . Тогда получаем, .

Видим, что для определения координат вектора достаточно его разложения по координатным векторам. Поэтому при наличии разложения вектора можно сразу назвать его координаты. Главное — помнить, что в качестве первой координаты записывают коэффициент разложения при координатном векторе, коллинеарном оси x (в данном случае — это вектор ), а в качестве второй координаты — коэффициент разложения при координатном векторе, коллинеарном оси y (в данном случае — это вектор ).

Запишем координаты векторов, пользуясь их разложениями по координатным векторам .

Из разложения вектора  видим, что он имеет координаты .

, то ;

, то ;

, то ;

, то .

А теперь, пользуясь только координатами данных векторов, построим их в прямоугольной координатной плоскости, откладывая каждый вектор от точки О начала координат.

Координатами вектора  являются числа 8 и -1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы из точки О переместиться на вектор  сначала переместимся на вектор ,, а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Далее построим вектор .

Последним построим вектор . Перемещение на этот вектор состоит из перемещений на вектор  и на вектор . Перемещение из точки О в конечную точку и задаёт вектор

Так мы рассмотрели примеры построения вектора по его координатам.

Далее, пользуясь приобретёнными знаниями о координатах вектора, получим правила нахождения координат векторов, полученных уже известными вам действиями: сложением, вычитанием и умножением вектора на число.

Сначала рассмотрим сумму двух векторов , .

Пользуясь их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным векторам  , .

Сложим полученные равенства . Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов  и  равны ,  .

Можем записать правило.

Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Найдём координаты векторов суммы, если вектор , , , .

Координаты вектора суммы  и равны .

Координаты вектора суммы , ,   равны .

Теперь рассмотрим разность векторов -.

Из разложения вектора  вычтем разложение вектора .

Получаем, что координаты вектора разности равны .

Запишем правило. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

Разность векторов  и имеет координаты .

Разность векторов  и имеет координаты .

Далее получим координаты произведения вектора  на число k.

Получаем, что координаты произведения равны .

Запишем правило. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Найдём координаты вектора 4. Они равны .

Координаты вектора 2,5   равны .

Вектор 3  имеет координаты .

Ну, а вектор     имеет координаты .

Все три правила, полученные нами, в дальнейшем помогут определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Задача. Найти координаты векторов  и  по координатам данных векторов , , , .

Представим это выражение в виде суммы.

Вектор  имеет координаты , или .

Вектор  имеет координаты , или .

Координаты вектора . А вот координаты вектора .

Координаты вектора  найдём как суммы соответствующих координат полученных векторов. В результате получаем, что  имеет координаты

Далее найдём координаты вектора . Запишем второй множитель в виде суммы. Координаты векторов  и . Вектор  имеет координаты , или . Вектор .

Сумма полученных векторов будет иметь координаты .

Произведение этого вектора на 3 имеет координаты . Это и есть координаты вектора .

Подведём итоги урока. Сегодня, пользуясь уже известным правилом разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, мы ввели понятие координатных векторов и дали определение координатам вектора. А также получили правила нахождения координат векторов суммы векторов, разности векторов и произведения вектора на число. Этих правила позволяют определять координаты векторов, представленных в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

На следующем уроке мы найдём связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.