Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Вы уже знакомы с понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного вектора по единичным координатным векторам  и .

Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».

Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.

Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям.

Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как М₁ и М₂.

Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка ОМ₁. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОМ₂., , .

Определим координаты точек А, B, C, D, Е и F.

, , , , , .

Мы вспомнили, как определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже рассмотренной, точке М.

Проведём вектор из точки О к точке М. Запомните, вектор ОМ называют радиус-вектором точки М.

Для точки А радиус-вектором будет вектор , для точки B — вектор , для точки C — , для точки D — , радиус-вектором точки Е является вектор , а радиус-вектором точки F — вектор .

Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Доказать: .

Доказательство.

Понятно, что вектор  по правилу параллелограмма.

Теперь необходимо доказать, что вектор , а вектор . Тем самым мы докажем, что вектор .

,

,

,

Итак, мы доказали, что вектор . То есть координаты вектора , так же как и у точки М.

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к нашим векторам из примера.

Можем сказать, что координаты точки  равны соответствующим координатам радиус-вектора . Значит, вектор .

Аналогично, , , , , .

Обратите внимание, что координаты точек помогают определить их расположение в пределах координатной плоскости, а вот координаты векторов указывают на перемещение относительно осей x и y.

Если взять две несовпадающие точки, то они однозначно имеют различные координаты.

А вот два несовпадающих вектора могут иметь одинаковые координаты в том случае, если векторы равны.

Итак, мы доказали, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора  через координаты его начала и конца.

 Пусть точка А имеет координаты , а точка B имеет координаты .

Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и А соответственно.

А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора
 .

Можем найти координаты вектора разности:
 ,

 .

Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .

Так мы доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задача. По координатам точек  и  найти координаты вектора .

Решение.

,

,

,  

,

 ,  

,

Задача. Дописать в таблицу недостающие координаты.

Решение

На примере этого задания вы увидели, как находить ту или иную координату начала и конца вектора, а также самого вектора.

Далее решим задачу.

Задача.  — параллелограмм. Найти координаты точки , если , , .

Решение

1 способ

,

,

,

2 способ

Ответ: .

Подведём итоги урока. Сегодня мы установили связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Перед этим ввели понятие радиус-вектора точки и доказали, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Далее рассмотрели произвольный вектор и выразили его координаты как разности соответствующих координат его конца и начала. Это утверждение и помогло нам успешно справиться с решением задач.