Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вам уже хорошо знакомо понятие вектора, и вы умеете выполнять некоторые действия над векторами. А именно: складывать, вычитать и умножать вектор на число.

На этом уроке мы приступаем к более глубокому изучению вопроса о векторах и для начала запишем лемму о коллинеарных векторах.

Лемма. Если векторы  и  коллинеарны и  , то существует такое число , что .

Доказательство.

1.  

Пусть, тогда .

2.

Пусть, тогда .

Что и требовалось доказать.

Выполним задание.

Выразить коллинеарные векторы , , , ,  и  через коллинеарный им вектор .

Решение.

Итак, начнём с вектора  Видим, что векторы и  сонаправлены. Значит, k>0.

Также, взяв длину вектора  за единицу, видим что длина вектора  в 3 раза больше.

Можем записать, что вектор  равен произведению вектора  на число 3.

Рассмотрим следующий вектор, вектор . Он так же сонаправлен с вектором , поэтому k>0. При этом длина вектора  в 6,5 раза больше длины вектора .

Тогда вектор  равен произведению вектора  на 6,5.

Далее рассмотрим вектор .

Он противоположно направлен с вектором . Поэтому k<0. К тому же длина вектора  в 5,5 раза больше длины вектора . Тогда вектор .

Далее не сложно записать, что вектор .

Следующим рассмотрим вектор . Он противоположно направлен вектору  и его длина в 2 раза меньше, поэтому вектор .

Остался вектор . Как видите, он нулевой. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Поэтому вектор .

Сейчас вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов.

Если векторы-слагаемые  и   отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD, мы получим вектор  их суммы.

Обозначим вектор   как вектор . Он равен сумме .

В свою очередь вектор  всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора  на некоторое число x, а вектор  — как произведение коллинеарного ему вектора на некоторое число y.

Тогда можно записать, что вектор .

В таком случае говорят, что Вектор  разложен по неколлинеарным векторам  и . , коэффициенты разложения.

Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы  и .

Докажем, что любой вектор  можно разложить по данным векторам.

1.

В этом случае по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор
.

Так же можно записать его разложение по векторам  и . Только коэффициент разложения при векторе  будет равен нулю .

2.

Отметим некоторую точку О и отложим от неё векторы ,  и , равные векторам ,  и  соответственно.

Через точку P проведём прямую параллельную прямой . Точку пересечения полученной прямой с ОА обозначим как А₁.

По правилу треугольника вектор . Вектор  коллинеарен вектору , вектор  коллинеарен вектору . Это значит, что вектор , а вектор .

Отсюда получаем, что вектор . Тем самым мы разложили его по векторам  и .

Первая часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Теперь докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным способом.

Допустим, что кроме разложения  возможно другое разложение, .

Вычтем второе равенство из первого.

Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам  и , при этом коэффициенты разложения равны  и .

.

Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А значит, при  и .

Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример. Запишем разложение вектора  по векторам  и .

Все они отложены от точки О. При этом векторы ,  и  равны векторам ,  и  соответственно.

Через точку P проведём прямую, параллельную OB. И точку пересечения этой прямой с ОА назовём А₁.

По правилу треугольника вектор . Вектор .

Аналогично, выразим .

Тогда разложение вектора  по векторам

Теперь выполним задание, в котором векторы  и , изображённые в координатной плоскости, нужно разложить по двум векторам  и .

Итак, начнём с вектора . Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы вектор   являлся вектором суммы, а векторы-слагаемые  и   были коллинеарны векторам  и  соответственно.

Аналогично поступим с другими векторами.

На примере этого задания вы увидели, как можно раскладывать векторы по двум неколлинеарным векторам.

Подведём итоги урока.

Сегодня вы узнали, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор умножением на некоторое число k.

Также мы рассмотрели примеры и убедились в том, что на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.