Параллельный перенос

Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.

Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.

Другими словами, параллельным переносом на вектор  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка  отображается в такую точку , что вектор  равен вектору .

То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.

Пусть при параллельном переносе на вектор  точки  и  отображаются в точки  и . Так как векторы  и , то значит, эти векторы равны между собой . То есть они параллельны  и их длины равны, поэтому четырёхугольник  – параллелограмм. Следовательно, , то есть расстояние между точками  и  равно расстоянию между точками  и .

Случай, когда точки  и  лежат на прямой параллельной вектору , вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между точками  и  будет равно расстоянию между точками  и .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора  на его длину.

В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.

Свойства параллельного переноса:

·               При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.

·               Угол переходит в равный ему угол.

·               Окружность переходит в равную ей окружность.

·               Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.

·               Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

·               Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.

Определение:

Параллельным переносом на вектор  называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в такую точку  что .

Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.

При параллельном переносе точки пространства  и  переходят в такие точки  и , что вектора  и .

Сложим по правилу треугольника векторы

Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.

Значит, можно записать, что .

Заменим вектора  и  на вектор . Получим, что . Отсюда получаем, что вектор . Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть . То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Сформулируем свойства параллельного переноса.

Свойства параллельного переноса:

·                   Параллельный перенос является примером движения пространства.

·                   При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.

·                   При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).

·                   Каковы бы не были две точки  и , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка  переходит в точку .

·                   При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.

Свойства движения пространства:

·                   Движение сохраняет расстояние между точками.

·                   При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.

Решим несколько задач.

Задача: начертить отрезок  и вектор . Построить отрезок , который получится из отрезка параллельным переносом на вектор .

Решение: для того, чтобы построить отрезок , отобразим точку  в точку , точку  в точку  с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки ,  мы получим отрезок .

Задача: начертить треугольник  и вектор . Построить треугольник , который получится из треугольникa параллельным переносом на вектор .

Решение: отобразим с помощью параллельного переноса точки , ,  в точки , ,. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .

Задача: начертить пятиугольник  и вектор . Построить пятиугольник , который получится из пятиугольника параллельным переносом на вектор .

Решение: решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.