Опыты с равновозможными элементарными событиями

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что элементарными событиями (или элементарными исходами) называют события случайного эксперимента, которые нельзя разделить на более простые.

В каждом эксперименте можно выделить элементарные события, из которых состоят все остальные события.

В результате случайного эксперимента обязательно наступает только одно элементарное событие.

В некоторых случаях вероятности элементарных событий можно рассчитать. В других случаях их можно оценить с помощью частот, проведя множество наблюдений. А иногда вероятности элементарных событий никак не удаётся определить.

Особым является случай, когда элементарные события в эксперименте имеют одинаковые шансы. Например, при однократном бросании игрального кубика могут наступить элементарные события: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, выпадет 3 очка, выпадет 4 очка, выпадет 5 очков и выпадет 6 очков.

Если игральный кубик симметричный, то есть правильный, то шансы этих 6 элементарных событий одинаковы.

При двукратном бросании игрального кубика может наступить одно из 36 элементарных событий, и все они равновозможны.

Или, например, при однократном подбрасывании монеты могут наступить элементарные события: выпадет орёл, выпадет решка.

Если монета математическая, то есть симметричная, то шансы этих двух элементарных событий одинаковы.

Напомним, что если в случайном эксперименте шансы всех элементарных событий одинаковы, то он называется случайным экспериментом с равновозможными элементарными событиями.

Опыты с равновозможными элементарными событиями возникают при бросании игральных кубиков, подбрасывании монет, в лотереях, жребиях, социологических исследованиях и других искусственных экспериментах.

В природе опыты с равновозможными элементарными событиями встречаются очень редко.

Напомним правило, которое позволяет назначать вероятности элементарных событий.

Если в случайном эксперименте ровно  равновозможных элементарных событий, то вероятность каждого из них равна .

Это правило позволяет легко находить вероятности в случайном эксперименте, в котором все элементарные события равновозможны.

Пример. Игральный кубик бросают 2 раза. Найдём вероятность события  «сумма выпавших очков меньше 8».

Изобразим результаты этого случайного эксперимента с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результата второго броска.

Выделим зелёным цветом элементарные события, благоприятствующие событию .

Сосчитаем закрашенные зелёным цветом клеточки и получим, что это число равно 21.

Общее число элементарных событий в рассматриваемом эксперименте равно 36. Все они равновозможны.

Поэтому вероятность каждого элементарного события равна .

Тогда по правилу вычисления вероятностей, вероятность события  равна сумме 21 слагаемого, каждое из которых равно . Эта сумма равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных событий.

Рассмотрев пример, можно записать общую формулу и сформулировать соответствующее правило.

Если в случайном эксперименте конечное число элементарных событий и все они равновозможны, то вероятность события  равна отношению элементарных событий, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных событий.

Пример. Симметричную монету бросают 2 раза. Найдём вероятность того, что оба раза выпадет одна и та же сторона.

В первую очередь выпишем все элементарные события этого эксперимента.: оба раза выпадет орёл; в первый раз выпадет орёл, а во второй раз – решка; в первый раз выпадет решка, а во второй раз – орёл; оба раза выпадет решка. Получается, что общее число элементарных событий в рассматриваемом эксперименте равно 4. Все они равновозможны, так как монета симметрична.

Пусть событие  – «оба раза выпадет одна и та же сторона». Этому событию благоприятствуют элементарные события: оба раза выпадет орёл и оба раза выпадет решка, то есть число элементарных событий, благоприятствующих событию , равно 2.

Найдём вероятность события  как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных событий.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Игральный кубик бросают 1 раз. Найдите вероятность событий.

Решение.

При однократном бросании игрального кубика могут наступить элементарные события: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, выпадет 3 очка, выпадет 4 очка, выпадет 5 очков и выпадет 6 очков.

Получается, что общее число элементарных событий в рассматриваемом эксперименте равно 6 Все они равновозможны.

Событие  – «выпадет нечётное число очков».

Событию  благоприятствуют элементарные события: выпадет 1 очко, выпадет 3 очка, выпадет 5 очков, то есть число элементарных событий, благоприятствующих событию , равно 3.

Найдём вероятность события  как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий.

Событие  – «выпадет меньше 5 очков».

Общее число элементарных событий в рассматриваемом эксперименте равно 6.

Событию  благоприятствуют элементарные события: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, выпадет 3 очка, выпадет 4 очка, то есть число элементарных событий, благоприятствующих событию , равно 4.

Найдём вероятность события  как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных событий.

Задание второе. Симметричную монету бросают 2 раза. Равны ли вероятности событий  «хотя бы один раз выпадет решка» и  «оба раза выпадет решка»?

Решение.

Задание третье. Саша покупает альбом, блокнот и тетрадь. Продавец достаёт эти товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что продавец достанет блокнот в последнюю очередь.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!