Элементы алгебры логики. Высказывание

Сегодня мы с вами познакомимся с таким разделом математики как алгебра логики. Также узнаем, что такое логические переменные и логические значения.

Для начала узнаем, что же такое алгебра. Алгебра – это раздел математики, который изучает уравнения, содержащие цифры и буквенные обозначения, представляющие величины, подлежащие определению.

Например, x + y = 6.. Это алгебраическое уравнение, которое содержит переменные x и y. Если одна из переменных будет известна, можно будет найти вторую. Само же слово «алгебра» происходит от арабского Al-jabr, что означает «найти неизвестное». Многое из того, что изучает алгебра, вы проходите в школе на уроках математики. Например, натуральные, целые и рациональные числа, многочлены, множества и многое другое.

То есть вы знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра множеств и так далее.

Существует ещё и такой раздел математики как алгебра логики. Для информатики это очень важный раздел. Алгебра логики – это раздел математической логики, который изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. То есть в этом разделе математики подразумевается только два значения – истинно или ложно.

Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить, как истинное или ложное.

Давайте разберёмся на примере некоторых предложений.

«Москва – столица России».

«Шесть минус два равно четыре».

По поводу этих предложений можно сказать с уверенностью, что они истинны.

А вот, например, предложение «Зайцы зимой впадают в спячку.» – ложно.

Все вышеперечисленные предложения являются высказываниями, так как можно однозначно сказать истинны они или ложны.

В естественных языках высказывания выражаются с помощью повествовательных предложений, но стоит помнить, что не все повествовательные предложения являются высказываниями. Например, предложение «Если попасть камнем в окно, то оно разобьётся.» не является высказыванием, так как нельзя однозначно сказать истинно оно или ложно.

Ведь в нём не уточняется какой камнем будет бросаться, маленький или большой, и с какой силой.

Или ещё одно предложение «Физическая культура – самый важный школьный предмет.» так же не относится к высказываниям, потому что для кого-то это важный предмет, так как ученик собирается дальше идти учится, например, на тренера, и соответственно для него это высказывание будет истинным. А вот для ученика, который планирует учиться на программиста, это высказывание будет ложным.

Но в тоже время предложение «Физкультура является очень полезным уроком.» будет являться истинным высказыванием, так как действительно, развитие интеллекта без физического здоровья будет неполноценный – так же, как и в обратном случае

Также стоит запомнить, что высказываниями не являются побудительные и вопросительные предложения. Например, «Сколько времени?», «Чей телефон звонит на уроке?», «Сколько тебя можно ждать!».

Для построения высказываний могут использоваться знаки различных формальных языков: математики, физики, химии и других.

Например, предложение «Гипотенуза прямоугольного треугольника находится по следующей формуле .» является высказыванием, так как оно истинно.

Или же ещё одно «Формула воды в химии записывается так: H₂O.» также является высказыванием.

«Путь при равномерном прямолинейном движении находится по формуле ».

Это предложение является высказыванием, но высказыванием ложным, так как формула для нахождения пути при равномерном прямолинейном движении выглядит следующим образом: .

Числовые выражения не являются высказываниями. Но, в то же время, если из двух выражений составить одно и соединить их знаком равенства или неравенства, то новое выражение будет высказыванием. К примерам можно отнести следующие выражения:

Первое выражение истинно, так как 10 умноженное на 5 равно 50 и 43 плюс 7 также равно 50, соответственно они равны.

А вот второе ложно, так как 23, умноженное на 6, равно 138. Число 138 в свою очередь больше 100, а у нас стоит знак меньше.

Равенства или неравенства, которые содержат в себе переменные, также не относятся к высказываниям. Примерам будет являться неравенство x + y < 7. Но если переменные заменить цифрами, например, 3 + 5 < 7, то такое неравенство становится высказыванием, так как мы заменили переменные конкретными значениями.

Рассмотрим ещё несколько неравенств:

Первое и второе неравенства являются ложными, так как 5 + 2 = 7. А у нас знак больше. Восемь равно восьми, но никак не меньше.

А вот третье является верным, так как 8 < 9.

Истинно или ложно то или иное высказывание, мы решаем, исходя из тех наук, к которым оно относится. Например, когда мы с вами рассматривали неравенства, мы обращались к науке «Математика».

Важным же фактором для алгебры логики является не содержание высказываний, а истинно или ложно то или иное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначаются при помощи букв. Такие обозначения называются логическими переменными.

Например, нам даны два высказывания:

Первое обозначим буквой А, латинского алфавита, а второе – буквой В.

Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей, а если ложно – нулём.

Вернёмся к нашим высказываниям А и В. Первое высказывание истинно, значит его логическая переменная А будет равна 1, а вот второе выражение ложно, значит В будет равно 0.

А = 1.

В = 0.

0 и 1, которые обозначают значения логических переменных, называются логическими значениями.

Таким образом алгебра логики определяет правила записи, упрощения и преобразования высказываний и вычисления их значений.

Производя операции с логическими переменными, которые могут быть равны только 0 или 1, с помощью алгебры логики можно свести обработку информации к операциям с двоичными данными.

В основе всех компьютерных устройств, с помощью которых происходит хранение и обработка информации, лежит аппарат алгебры логики.

С применением элементов алгебры логики вы столкнётесь и во многих других разделах информатики.

А теперь пришла пора подвести итоги нашего урока.

Сегодня мы узнали, что:

·                   Алгебра логики – это раздел математической логики, который изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

·                   Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить, как истинное или ложное.

·                   Логические переменные – это высказывания, которые обозначаются в алгебре логики при помощи букв.

·                   Логические значения – это цифры ноль и один, которые обозначают значения логических переменных.