Элементы алгебры логики. Логические операции

На этом уроке мы с вами познакомимся с такими логическими операциями, как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. А также научимся решать задачи с использованием этих операций.

Мы с вами уже знаем, что высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить, как истинное или ложное.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Простое высказывание – это высказывание, в котором никакая его часть сама не является высказыванием.

К примерам простых высказываний можно отнести следующие предложения:

«Минск – столица Беларуси.»

«Монитор является устройством хранения информации».

Первое простое высказывание истинно, а второе – ложно.

Сложные или же составные высказывания – это высказывания, которые строятся из простых с помощью логических операций.

Примером сложного высказывания будет следующее предложение:

«В интернете можно найти много полезной информации и пообщаться с друзьями». Это высказывание истинно.

Оно высказывание состоит из двух: «В интернете можно найти много полезной информации.», «В интернете можно пообщаться с друзьями». В данном случае оба простых высказывания истинны.

А сейчас давайте узнаем, какие существуют основные логические операции. Для этого рассмотри таблицу.

В первом столбце у нас указаны названия логических операций, а во втором – логические связки.

Логическая связка – это союзы или выражения, которые употребляются в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные.

Итак, первая логическая операция – инверсия. Ей соответствуют следующие логические связки: «не», «неверно, что». Вторая – конъюнкция и соответственно её логические связки: «и», «а», «но», «хотя». И последняя, третья логическая операция – дизъюнкция. У неё всего одна логическая связка «или».

Прежде чем приступить к рассмотрению всех логических операций, давайте рассмотрим таблицу, в которой указаны способы обозначения истинности и ложности логических высказываний. Существуют различные способы, но все они являются верными.

То есть мы можем написать просто словами на русском языке: Истинна или Ложь. Или же сократить их до первых букв. Также можно писать на английском языке: True или False. Или также сократить до первых букв. И последнее обозначение — это 1 и 0, где 1 – это истина, а 0 – ложь. Мы с вами будем использовать числа ноль и один.

А теперь давайте подробнее познакомимся с логическими операциями.

Итак, конъюнкция – это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Слово конъюнкция произошло от латинского «Conjunctio», которое обозначает «союз, связь».

Давайте разберёмся на примере. Нам даны два высказывания А и B. А = «У квадрата четыре стороны». B = «У ромба четыре стороны.».

Значит новое высказывание будет звучать следующим образом: «У квадрата четыре стороны и у ромба четыре стороны». Так как высказывания А и В истинны, то новое высказывание также будет истинно.

Давайте узнаем, как обозначается знак конъюнкции в различных сферах его применения.

Итак, в естественном языке конъюнкция соответствует союзу «И». В алгебре конъюнкция может обозначаться с помощью нескольких знаков: знака амперсанда, знака конъюнкции (он похож на крышу дома, а, чтобы набрать его на клавиатуре, нужно нажать на клавиши слэш и бэкслэш (обратный слэш)), а также знака умножения.

В языках программирования для обозначения конъюнкции используется английский союз «And». Также в некоторых языках программирования может использоваться одинарный или двойной знак амперсанда.

А сейчас мы с вами составим таблицу истинности для конъюнкции.

Пусть у нас есть два высказывания А и B. Они будут заголовками первого и второго столбца. А новое выражение, которое образуется с помощью конъюнкции обозначим А и B – и это будет являться заголовком для третьего столбца.

Далее, вспомним, что если высказывание истинно, то ему соответствует число 1, а если ложно – 0.

Допустим, высказывания А и B – оба ложны. Занесём нули в соответствующие ячейки.

Из определения мы знаем, что новое высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда истинны исходные высказывания. А так как у нас два высказывания ложны, значит и при их соединении мы получим новое ложное высказывание.

Далее, пусть А будет ложным, а B – истинным. Новое высказывание будет ложным, так как высказывание А – ложно.

Теперь сделаем наоборот, пусть А – истинно, B – ложно. И снова новое высказывание будет ложным.

А если высказывания А и B будут истинными, то новое высказывание также будет истинно. Так как в определение сказано, что новое высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда истинны исходные высказывания.

Мы с вами рассмотрели все возможные значения исходных высказываний А и B.

Так же очень легко запомнить таблицу истинности для конъюнкции, если представить её в виде электрической цепи с двумя последовательными выключателями.

Лампочка загорится только в том случае, если два выключателя будут включены (замкнуты).

То есть тогда новое высказывание будет истинно.

Конъюнкцию также называют логическим умножением. Давайте посмотрим ещё раз на таблицу истинности.

Какие числа мы получим в результате перемножение первого и второго столбцов? В первых трёх строках третьего столбца будут нули, так как любое число при умножении на 0 даёт 0. А вот 1 на 1 равно 1. То есть мы получили такие же данные, как и при первом построении таблицы истинности.

А теперь переходим к дизъюнкции.

Дизъюнкция – это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания. Слово дизъюнкция произошло от латинского «Disjunctio», которое обозначает «разобщение».

Рассмотрим пример. Нам даны два высказывания А и B. А = «У квадрата три стороны». B = «У ромба две стороны.».

Значит новое высказывание будет звучать следующим образом: «У квадрата три стороны или у ромба две стороны». Так как высказывания А и B ложны, то новое высказывание также будет ложно.

В различных сферах применения, дизъюнкция обозначается по-разному.

В естественном языке это слово «ИЛИ». В алгебре высказываний используется следующий знак: «V». Или знак «+». В программировании в основном используется английское «OR». Но в некоторых языках программирования дизъюнкция обозначается следующими знаками: «|», «||».

А теперь давайте составим таблицу истинности для дизъюнкции. Нам даны два высказывания А и B. Их значения мы будем вносить в первых два столбца. А в третий будем вносить обозначения, которые получаются при образовании нового высказывания с использованием дизъюнкции.

Итак, пусть наши два высказывания ложны. В определении сказано, что новое высказывание будет ложно тогда и только тогда, когда ложны два высказывания. Значит в нашем случае новое высказывание будет ложно.

Далее, пусть А будет ложным, а B – истинным. Новое высказывание будет истинным. Так как высказывание B – истинно.

Теперь сделаем наоборот, пусть А – истинно, B – ложно. И снова новое высказывание будет истинным.

А если высказывания А и B будут истинными, то новое высказывание снова будет истинно. Так как в определение сказано, что новое высказывание будет ложно тогда и только тогда, когда ложны исходные высказывания.

И снова для запоминания таблицы истинности можно использовать электрическую цепь с двумя параллельными выключателями.

То есть лампочка загорится в том случае если будет включён (замкнут), хотя бы один выключатель.

Дизъюнкцию ещё называют логическим сложением.

Давайте сложим данные из первого и второго столбцов. В результате мы получим такие же данные, как и при первом построении таблицы истинности. Обратим внимание на последнюю строку таблицы. При сложении двух логических единиц всё равно получается логическая единица. Алгебра логики оперирует только двумя значениями – ложью (логический ноль) и истиной (логическая единица). Истина не может быть двойной, тройной или истиной в квадрате, поэтому при сложении двух истин результатом будет просто истина, то есть цифра один.

И последняя логическая операция, которую мы с вами рассмотрим – это инверсия.

Инверсия – это логическая операция, которая преобразует исходное высказывание в новое, значение которого противоположно исходному. Слово инверсия произошло от латинского «Inversio», которое обозначает «переворачивание, перестановка».

Здесь всё очень просто. Если исходное высказывание было истинно, то после инверсии оно становится ложным, а если исходное высказывание было ложным, то после операции инверсии оно становится истинным.

Для примера возьмём высказывание «Я знаю английский язык». После операции инверсии мы получим новое высказывание «Я не знаю английский язык».

Давайте посмотрим, как обозначается инверсия в различных сферах её применения.

В естественном языке инверсии соответствуют речевой оборот «неверно, что» и частица «не». В алгебре высказывания инверсия обозначается следующими знаками: «¬», «ˉ». А вот в сфере программирования используется английское слово «NOT».

Нам осталось составить таблицу истинности для инверсии. Нам дано исходно высказывание А. Его значения будем записывать в первый столбик таблицы. А вот значение высказывания, которое получается после инверсии, будем записывать во второй столбик.

Итак, если наше высказывание А ложно, то новое высказывание будет истинно.

А если А – истинно, то новое высказывание после инверсии будет ложно.

Инверсию также называют логическим отрицанием.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, при применении к высказыванию логического отрицания, в него добавляется речевой оборот «неверно, что» или же частица «не». Частица «не» прибавляется к глаголу.

Также любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения.

Логическое выражение – это выражение, которое содержит переменные, знаки логических операций и скобки.

Как и в математики, при выполнении логических операций в логическом выражении существует свой порядок действий. Сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция, а после дизъюнкция. То есть, если записать все действия математическими знаками, то получим, что в начале выполняется действие отрицания (число меняется на противоположное), затем конъюнкция (умножение), а после всего дизъюнкция (сложение). Порядок выполнения действий можно изменять с помощью скобок.

А теперь давайте рассмотрим пример. На доске нарисованы точки и круги. Пусть А = «Внутри круга А находятся 190 точек» и В = «Внутри круга В находятся 230 точек». Всего на доске нарисовано 500 точек. На пересечении обоих кругов одновременно нарисовано 70 точек. Для какого количества точек будут истины следующие выражения:

1.     НЕ А.

2.     А V В.

3.     НЕ (А V В)?

Переходим к решению. Нам даны два высказывания А = «Внутри круга А находятся 190 точек» и B = «Внутри круга B находятся 230 точек». То есть высказывание А верно для 190 точек, а B – для 230 точек. Давайте для начала решим задачу с использованием кругов Эйлера. Рисуем один большой круг, который будет обозначать доску. Внутри этого круга рисуем ещё два – А и B.

А сейчас изобразим графически множества точек, для которых истины вышеприведённые выражения. Первое: НЕ А. То есть будет закрашено всё пространство, кроме круга А.

Во втором случае, А V B, будут закрашены два круга А и B.

А в третьем – всё пространство, кроме кругов А и B.

Данные изображения помогут нам решить задачу.

Итак, нам нужно найти количество точек, для которых будет истинно выражение «НЕ А». Смотрим на наш круг.

Это все точки, кроме тех, которые входят в круг А.

500 – 190 = 310.

Таким образом для 310 точек истинно выражение «НЕ А».

Второе: А V B. Смотрим на графическое представления для этого выражения.

Это все точки, которые входят в круги А и B. Для того, чтобы найти количество точек, давайте те точки, которые входят только в круг А обозначим буквой x, а которые входят только в B – буквой y. А точки, которые входят и в А и в Бэ обозначим буквой z. В круг А входят 190 точек, но в них есть точки z, которые входят и в А и в B.

z = 70.

Значит то наш x будет вычисляться следующим образом:

x = 190 – 70 = 120.

Аналогично и с кругом B, в который входят 230 точек.

y = 230 – 70 = 160.

Для того, чтобы вычислить точки, которые входят в А или B, нам нужно сделать следующее:

70 + 120 + 160 = 350.

То есть для 350 точек истинно выражения А V B.

Ну и последнее выражение «НЕ (А V B)».

Это все точки, которые не входят в круги А и B. Для их нахождения нужно:

500 – 350 = 150.

То есть для 150 точек истинно выражение «НЕ (А V B)».

Задача решена. И сейчас мы с вами подошли к подведению итогов урока.

Сегодня мы с вами узнали, что такое сложные высказывания, познакомились с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция и инверсия. Построили таблицы истинности для трёх логических операций, а также решили задачу с использованием кругов Эйлера и логических операций.