Задания №14 на ЕГЭ. Координатный метод. Углы в пространстве.

• Задания №14 на ЕГЭ. Координатный метод. Углы в пространстве.

Быстрова Н. Н. учитель математики

МБОУ «СОШ № 5» г. Ступино

а

b

• направляющие

вектора прямых

№ 1. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF, P – середина , Q – середина, Е – середина, F – середина DC.

Решение.

z

Q

Р (4; 0; 2),

Q (0; 2; 4)

E (4; 4; 2),

F (0; 2; 0)

E

P

F

у

х

Ответ:

№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

z

А

АВ

В

(0; -1;1)

y

=

x

Ответ :

№ 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между прямыми AE и BF, если

Решение.

z

A (3; 0; 0),

Е (2; 3; 0)

F

В (3; 3; 0),

F (1; 3; 3)

у

E

х

Ответ:

№ 4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми и .

Решение.

С 1

z

А 1

В 1

С

у

х

В

А

Ответ:

• Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

α - угол между прямой и плоскостью

β

β – угол между прямой и перпендикуляром

к плоскости

Чтобы найти синус угла между прямой

и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости

α

уравнение плоскости

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

№ 1 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ 1 и плоскостью (А 1 EF) , где Е – середина В 1 С 1,

A 1 (1; 0; 1)

A (1; 0; 0)

z

B 1 (1; 1; 1)

Е (0,5; 1; 1)

E

1

Запишем уравнение плоскости (А 1 EF):

у

F

1

1

х

A 1 (1; 0; 1)

Е (0,5; 1; 1)

- уравнение плоскости (А 1 EF).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой AВ 1 и плоскостью (АСF 1 ) .

z

Запишем уравнение плоскости (АСF 1 ):

х

у

C (1; 0;0)

F 1 (- 1; 0;1)

- уравнение плоскости (АСF 1 ).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

№ 3. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (АDS) .

z

E

Запишем уравнение плоскости (АSD):

y

х

- уравнение плоскости (АSD).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

Литература :

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011

http://alexlarin.net/ege11.html