Задачи по теории вероятности

ОДИНЦОВСКИЙ УМЦ «РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАНИЯ»

ЗАЧЁТНАЯ РАБОТА

УЧАСТНИКА КУРСА

на тему: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

ОЛЕНИЧ ВЕРЫ НИКОЛАЕВНЫ

УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ

ВАСИЛЬЕВСКОЙ СОШ

ГОРЕНИНА ЕЛЕНА ВАЛЕНТИНОВНА

лектор

г.Одинцово

2018-2019

1).На заводе керамической плитки 5% произведённых плиток имеют дефект. При контроле качества продукции обнаруживается лишь 40% дефектных плиток. Остальные плитки отправляются на продажу. Найдите вероятность того, что выбранная случайным образом при покупке плитка не будет иметь дефектов.

Ответ округлите до сотых.Скрыть решение

Решение.

При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных плиток, которые составляют 5% от произведённых плиток, и они не поступают в продажу. Значит, не поступает в продажу 0,4 · 5% = 2% от произведённых плиток. Остальная часть произведённых плиток — 100% − 2% = 98% поступает в продажу.

Не имеет дефектов 100% − 95% произведённых плиток. Вероятность того, что купленная плитка не имеет дефекта, равна 95% / 98%  = 95/98 ​​≈0,97

Ответ: 0,97

2).Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15.Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85.1−0,15=0,85.Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85.P(A)=P(B)=0,85.Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A∩B, его вероятность равна P(A∩B)= P(A)⋅P(B)=  =0,85⋅0,85= 0,7225.

Ответ:0,7

3)Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 7»?

Решение

Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 1-6,1−6, 2-5,2−5, 3-4,3−4, 4-3,4−3, 5-2,5−2, 6-1.6−1. Их количество равно 6.

Ответ:6

4).На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Скрыть решение

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна 1/2*1/2*1/2*1/2= 0,0625.

Ответ:0,625

5).Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

рыть решение

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A∩B, его вероятность равна P(A∩B)=  =P(A)⋅P(B) =0,4⋅0,4= 0,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1−P(A∩B) =1−0,16= 0,84.

Ответ:0,84

6).Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет от 10 до 14.

Скрыть решение

Решение

Обозначим через A событие «в автобусе окажется меньше 10 пассажиров» и через B событие «число пассажиров будет от 10 до 14». Они несовместны, и их объединением является событие «в автобусе окажется меньше 15 пассажиров», поэтому сумма вероятностей событий A и B равна вероятности события A∪B, то есть P(A∪B)=P(A)+P(B). Искомая вероятность равна P(B) =0,64−0,46=0,18.

Ответ:0,18

7). Кубик бросили трижды. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 12 очков.

Решение:

Как найти общее количество исходов, мы прописали в примере 1.7: Nобщ=216.

А вот что делать с количеством благоприятных исходов? Можно, конечно, составить полную таблицу, как в предыдущем случае. Но тогда потеря одного из исходов влечет за собой неверный ответ. Давайте поступим немножко по-другому, запишем просто все возможные комбинации цифр от 1 до 6, в сумме дающие 12, не переставляя их местами:

6 5 1

6 4 2

6 3 3

С цифрой 6 закончили.

Теперь внимательно следим за тем, чтобы в дальнейших случаях она случайно не появилась, иначе это будет всего лишь перестановкой уже рассмотренного случая.

5 5 2

5 4 3

4 4 4

Всего получилось 6 комбинаций.

Но ведь мы еще можем переставлять цифры местами в каждой из них! Чтобы не вводить понятия комбинаторики, предлагаю запомнить: Если все 3 цифры разные – они дают 6 комбинаций. Если 2 цифры совпадают, а третья отличается – то 3 комбинации. Если все цифры одинаковые – 1 комбинация.

Используя это правило, найдем количество благоприятных исходов: Nбл=6+6+3+3+6+1=25 Вероятность равна: р = 25/ 216 =0,1157. После первого округления получаем значение р=0,116. После второго – р=0,12.

Ответ: 0,12.

8). Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Протор», «Стартер» и «Монтѐр». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать только первую и вторую игры.

Решение:

«Ротор» сыграет 3 игры. Вероятность, что жребий будет в пользу «Ротора», равна р=1/ 2 . Тогда вероятность того, что жребий выиграет НЕ «Ротор» равна р=1- 1/ 2 = 1/ 2 . Для того, чтобы выполнились условия задачи, нам необходимо, чтобы «Ротор» начал И первую, И вторую игры, И НЕ начал третью игру. Р = 1 /2 * 1/ 2 *(1- 1/ 2 )= 1/ 8 =0,125

Ответ: 0,125

9). Офис закупает канцелярию для сотрудников трех различных фирм. Причем, продукция первой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных двух – поровну. Чаще всего приходится закупать пишущие ручки. Опытным путем выяснилось, что 2% ручек второй фирмы – бракованные. Процент брака в первой и третьей фирме составляет 1% и 3% соответственно. Сотрудник М. с утра взял ручку из новой поставки канцелярии. Найдите вероятность того, что она будет исправна.

Решение:

Все аналогичные задачи решаются построением таблицы. Но прежде выполним дополнительные вычисления.

Найдем, сколько процентов от поставок составляет продукция 2 и 3 фирмы.

(100%-40%):2=60%:2=30%.

Как теперь рассчитать вероятность взять БРАКОВАННУЮ ручку? Р=0,4*0,01 + 0,3*0,02 + 0,3*0,03 = 0,019. Тогда вероятность взять ИСПРАВНУЮ ручку равна: Р=1-0,019=0,981

Ответ: 0,981

10). В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют дежурных на 2 сентября. Какова вероятность, что это будут Миша и Тимур?

Решение:

Всего в классе 7+14=21 человек. И Миша, и Тимур – мальчики. Вероятность того, что выберут одного из мальчиков, равна 7/ 21 = 1 /3 . А вот когда начнут выбирать второго дежурного, окажется, что мальчиков уже стало меньше, то есть, 6/ 20 = 3/ 10 . Соответственно, вероятность, что выберут И Мишу, И Тимура, равна произведению вероятностей: р= 1/ 3 ∗ 3/ 10 = 1/ 10 =0,1

Ответ: 0,1

11). В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Так как события независимы, а нам необходимо найти вероятность того, что будет занят И первый продавец, И второй, И третий, вероятность найдем по формуле: р=р1*р2*р3=0,6*0,6*0,6=0,216

Ответ: 0,216

12). В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Это задание решается непросто. Действительно, если бы эти события были независимыми, то вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах была бы результатом перемножения вероятности того, что кофе закончится в одном из них.

Но мы видим, что это не так (0,3*0,3 ≠ 0,12). Значит, все то, что мы узнали выше, нам здесь не поможет, нужен какой-то другой метод. Не буду вас томить сложными объяснениями и объяснять, почему решается именно так, расскажу просто механизм решения конкретно этого задания.

Сначала мы находим вероятность наступления двух совместных событий (это понятие мы не вводили) «Кофе закончится в обоих автоматах». Эта вероятность равна сумме вероятностей наступления этих событий без вероятности их совместного наступления: р1=0,3+0,3-0,12=0,48 А потом находим искомую вероятность р (кофе останется в обоих автоматах) как противоположное событие: р=1-р1=1-0,48=0,52

Ответ: 0,52