Задачи на построение.

Конспект урока по геометрии в 7 классе

Тема урока «Задачи на построение»

Тип урока – урок по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Цель урока: дать представление о задачах на построение; рассмотреть наиболее простые задачи на построение и научить учащихся решать их.

Задачи урока:

Образовательные:

познакомить учащихся с задачами на построение;

сформировать умение решать простые задачи на построение;

расширить знания об истории геометрии.

Воспитательные:

воспитывать ответственное отношение к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;

воспитывать интерес к истории математики, как науки.

Развивающие:

развивать навыки самоконтроля;

формировать алгоритмическое мышление.

Планируемые результаты:

Предметные: познакомить с алгоритмом построения угла, равного данному; построения биссектрисы угла и середины отрезка.

Метапредметные УУД:

Познавательные: преобразовывать модели с целью выявления общих законов, определяющих предметную область.

Регулятивные: составлять план выполнения задач; решения проблем творческого и поискового характера.

Коммуникативные: уметь организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с педагогом и сверстниками.

Личностные: проявлять способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Оборудование: мультимедийное оборудование,

раздаточный материал (вопросы на повторение, заготовки для

решения творческих задач, рабочий лист).

План урока:

I.Организационный момент - 1 мин.

II. Проверка теоретических знаний обучающихся по теме « Геометрические фигуры» ( мозговой штурм) - 5 мин.

III. Изучение нового материала:

3.1. Актуализация опорных знаний – 5 мин.

3.2. Основные задачи на построение – 10 мин.

3.3. Отработка навыков решения задач на построение – 12 мин.

3.4. Три классические задачи древности – 3 мин.

IV. Оценка знаний обучающихся.

V. Рефлексия – 4 мин.

Эпиграф к уроку: « Услышишь – забудешь,

Увидишь - запомнишь,

Построишь – поймёшь».

Конфуций.

I. Организационный момент.

II. Повторение по теме « Геометрические фигуры».

1)На экране изображены фигуры (точки, прямые, лучи, отрезок, углы, окружность, треугольники), карточки с такими же задания лежат на столе у учащихся. Учитель. Какие треугольники называются равными?

Ученики. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. Треугольники называются равными, если все элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Учитель. Доказать равенство треугольников. (Таблица) 
Учащиеся формулируют признаки равенства треугольников, используя чертежи. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что во всех признаках равенства треугольников существует три равных элемента (хотя в одной из задач выполняется равенство трех элементов, но доказать, что треугольники равны невозможно).

Учитель. (Таблица)

• Какой треугольник называется равнобедренным?

• Как называются стороны равнобедренного треугольника?

• Свойства равнобедренного треугольника.

• Вспомнить определение медианы, высоты и биссектрисы треугольника.

Итак, для успешного изучения новой темы нам необходимо знать: признаки равенства треугольников; определение и свойства равнобедренного треугольника

2)

На это вам даётся 2 минуты.

Проверка, обсуждение (по одному ученику от каждого варианта).

Учитель: Эти задачи мы с вами решали при помощи транспортира и линейки с миллиметровыми делениями. А можно ли построить угол, равный 45̊, без использования транспортира?

III. Изучение нового материала.

3.1 Вводное слово учителя.

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Задачи на построение способствуют пониманию происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования Они развивают логическое мышление, геометрическую интуицию, а также такие качества личности, как внимание, настойчивость, целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие. Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения.

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль.

Мы с вами уже встречались с задачами на построение. Мы строили угол заданной величины, треугольники по заданным сторонам, находили середину отрезка, зная его длину и т.д, при построении использовали линейку с делениями и транспортир.

Сегодня мы с вами рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки без делений. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны.

Решение задачи на построение состоит в том, что требуется построить с помощью циркуля и линейки без масштабных делений некоторую фигуру, если задана некоторая фигура или указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами заданной фигуры.

С помощью линейки можно провести произвольную прямую и прямую, проходящую через данные две точки.

С помощью циркуля можно провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Решением задачи на построение называется фигура, удовлетворяющая условиям задачи.

Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной.

Решение задач на построение осуществляется в 4 этапа:

• Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами и план построения).

• Построение по намеченному плану.

• Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условию задачи.

• Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет,

то сколько).

(Демонстрация слайдов)

Основные задачи на построение:

• Построение отрезка, равного данному

• Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой (точка не лежит на данной прямой)

• Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную к данной прямой (точка лежит на данной прямой)

• Построение угла, равного данному.

• Построение биссектрисы угла

• Построение серединного перпендикуляра.

• Построение середины отрезка.

3.2. Рассмотрим задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, выполняя соответствующие построения и записи в тетрадях.

Построение выполняем, используя презентацию.

Задача № 1 Построение отрезка, равного данному (приложение)

Дано: луч ОА,

отрезок МN

Построить: ОВ = МN, В € ОА,

Построение. 1. Окр.(О; МN);

2. Окр.(О; МN) ∩ ОА = В;

3. ОВ – искомый отрезок.

Задача №2 Построение угла, равного данному (приложение)

Дано: BAC, OM – луч.

Построить: B₁OC₁ = BAC.

Построение.

1. Окр.(A;r), r – произвольный радиус.

2. Окр.(A;r) ∩ AB = B.

3. Окр.(A;r) ∩ AС = С.

4. Окр.(O;r) ∩ OM = C₁.

5. Окр.(C₁;BС) ∩ Окр.(O;r) = B₁.

6. OB₁, B₁OC₁ = BAC. B₁OC₁ – искомый.

Равенство углов следует из равенства треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Назовите признак равенства треугольников.

Задача №3 Построение середины отрезка (составить план построения)

Дано: отрезок АВ.

Построить: точку О – середину отрезка АВ.

Построение.

1. Окр.(A;AB).

2. Окр.(B;BA).

3. Окр.(A;AB) ∩ Окр.(B;BA) = P, Q.

4. PQ – прямая.

5. PQ ∩ AB = O.

6. AO = BO, O – искомая точка.

Устно доказываем, что полученная фигура удовлетворяет условию задачи на основе признака равенства треугольников.

Задача №4. Построение биссектрисы угла (приложение) (работа в парах)

Дано: ABC

Построить: ВД – биссектриса ABC.

Построение.

1. Окр.(B;r), r – произвольный радиус.

2. Окр.(B;r) ∩ AB = M.

3. Окр.(B;r) ∩ BC = N.

4. Окр.(M;r) ∩ Окр.(N;r) = D.

5. BD – искомая биссектриса ABC, ABD=CBD.

Устно доказываем, что полученная фигура удовлетворяет условию задачи на основе признака равенства треугольников.

3.3. Отработка навыков решения задач на построение.

Практическое задание. Работа выполняется по трем вариантам и имеет обучающий характер.

Вариант №1. Разделить отрезок на 4 равные части.

Вариант №2. Дан ∆АВС. Построить биссектрису ВК.

Вариант №3. Дан ∆КМN. Построить медиану МР.

V. Рефлексия ( смотри на рабочем листе) (приложение)

Д/з: п. 22,23 В.17-21,№82 стр. 82 (в Р/Т) или №149,№154.