Урок по математике "Методы использования ограниченности функции"

Цели:

Образовательная: обучить учащихся порядку и правилам решения задач по математике, практическому применению возможностей приложения Microsoft Office Excel.

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Для того чтобы узнать тему сегодняшнего урока нужно выполнить следующие задания, расставив ответы в порядке убывания.

ОТВЕТ: 10; 5; 1; -1 (Метод использования ограниченности функций).

Рассмотрим теорию:

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащий модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Кроме приведенных простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства

Обширные возможности в исследовании функций на их ограниченность нам предоставляет функционал Microsoft Office Excel. Так функционал построения диаграмм позволяет организовать построение графиков функций и их наглядность при изучении ограниченности функций.

Подготовленный пример файла Excel позволяет продемонстрировать функциональность приложения. Для наглядности решим пример 1.

Пример 1:

Для решения уравнения определяем ограниченность представленных функций. Из значений тригонометрических функций нам известно, что результатом функции SIN() является диапазон чисел от -1 до 1, т.е. функция SIN (Pi*x) при различных вариантах изменения х на выходе будет иметь своим максимумом 1 и минимумом -1. Квадратичная функция в правой стороне уравнения обладает графиком функции в виде параболы с минимальной точкой и симметричными ветвями. Приравняем каждую часть уравнения к max первой функции 1, если решение для второго уравнения при его приравнивании к 1 не будет найдено, то это будет свидетельствовать об отсутствии решения (графики данных функций не пересекаются), все решения будут свидетельствовать о количестве точек пересечения графиков функций.

Весь материал – смотрите документ.
 

Республика Казахстан г. Актобе ОСШ № 25

ТЕМА: МЕТОДЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ

Жизнь хороша тем, что в ней

можно заниматься математикой

/Леонард Эйлер/

Цели:

Образовательная: обучить учащихся порядку и правилам решения задач по математике, практическому применению возможностей приложения Microsoft Office Excel.

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Для того чтобы узнать тему сегодняшнего урока нужно выполнить следующие задания, расставив ответы в порядке убывания.

ОТВЕТ: 10; 5; 1; -1 (Метод использования ограниченности функций).

Рассмотрим теорию:

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащий модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Наиболее распространёнными неравенствами являются следующие:

и многое другое.

Кроме приведенных простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства

и неравенства с модулями вида

Обширные возможности в исследовании функций на их ограниченность нам предоставляет функционал Microsoft Office Excel. Так функционал построения диаграмм позволяет организовать построение графиков функций и их наглядность при изучении ограниченности функций.

Подготовленный пример файла Excel позволяет продемонстрировать функциональность приложения. Для наглядности решим пример 1.

Пример 1:

Решить уравнение:

Для решения уравнения определяем ограниченность представленных функций. Из значений тригонометрических функций нам известно, что результатом функции SIN() является диапазон чисел от -1 до 1, т.е. функция SIN (Pi*x) при различных вариантах изменения х на выходе будет иметь своим максимумом 1 и минимумом -1. Квадратичная функция в правой стороне уравнения обладает графиком функции в виде параболы с минимальной точкой и симметричными ветвями. Приравняем каждую часть уравнения к max первой функции 1, если решение для второго уравнения при его приравнивании к 1 не будет найдено, то это будет свидетельствовать об отсутствии решения (графики данных функций не пересекаются), все решения будут свидетельствовать о количестве точек пересечения графиков функций.

Получаем следующую систему уравнений:

Решаем первое уравнение: SIN (Pi*x) = 1

SIN (Pi*x) = SIN (Pi/2)

Pi*x = Pi/2

x = Pi/(2*Pi) = ½

решаем второе уравнение, получаем

Найденное решение уравнения свидетельствует о наличии точки пересечения графиков функций (x = 1/2, y = 1). Для наглядности введем функции в подготовленное приложение Excel и рассмотрим графики на отрезке от -1 до 1. Как мы можем увидеть графики функций действительно пересекаются в одной единственной точке (1/2, 1).

ОТВЕТ:

Рассмотрим второй пример:

Ограниченность функций данного уравнения заключается в ограниченности возможных входных данных: так первая функция (левая) ограничена по степени в которую будет возводиться основание (3). |4x-1|+2 никогда не будет меньше 2, т.к. минимальным значением |4x-1| может быть только 0 и не менее. Минимальным значением левой функции в таком случае является 3² = 9. Правая функция ограничена значением тригонометрической функции SIN(), её значение как мы помним из решения первого уравнения находиться в пределах от -1 до 1, таким образом вторая функция имеет минимальное своё значение при минимальном синусе и максимальное значение при его максимуме. Таким образом минимум функции находится в точке 5+4*(-1) = 1, а максимум в точке 5+4*1 = 9. Заметно, что минимум первой функции совпадает с максимумом второй функции. Опишем следующую систему уравнений:

Получаем, что первое уравнение равно 9 при х = ¼.

Максимального своего значения тригонометрическая функция синуса достигает при SIN(Pi/2), т.е

2*Pi*x = Pi/2

x = Pi/(2*2*Pi) = ¼

Как видим решение данной системы уравнения находится в точке (х = 1/4, y = 9). Проверим наше решение в приложении Excel.

Как мы видим наше решение находит своё отражение и на графиках функций

ОТВЕТ:

Приступим к решению следующего уравнения № 3

Первая функция как можно догадаться принимает любые значения х, т.к. в ней отсутствуют какие-либо ограничения. Как мы знаем степенные функции имеют график в виде параболы и вне зависимости от подставляемого в неё отрицательного числа на выходе будем иметь положительный результат, т.к. возводя отрицательное число в квадрат мы получаем положительное число. Т.к. график степенной функции симметричен, точку минимума мы найдём через точки пересечения графика с осью абсцисс. Сделаем мы это приравняв функцию к нулю. x² – 4x = 0

x*(x - 4) = 0

Таким образом мы находим что график первой функции пересекает ось абсцисс в двух точках при х = 0 и х = 4. Отсюда следует, что точка минимума (середина отрезка) находиться в точке при х = (4-0)/2 = 2, т.е. 2² – 4*2 = -4. Точка минимума для первой функции (2, -4).

Вторая функция (правая сторона нашего уравнения) ограничена результатами тригонометрической функции COS(), который может быть от -1 до 1. Расчитаем минумум и максимум второй функции при y = -1, cos (Pi*x/4) = -1 = cos (Pi)

(Pi*x)/4 = Pi

при х = 4

y = 1, cos (Pi*x/4) = 1 = cos (0) или cos(2*Pi)

(Pi*x)/4 = 0 (Pi*x)/4 = 2*Pi

при х = 0 или x = 8

Как мы видим из формулы максимальное и минимальное значение COS() приводят к минимальному значению всей функции, т.к. множители просто меняются местами:

(2 – COS((Pi*4)/4))*(2 + COS((Pi*4)/4))-8 = (2 + 1)*(2 - 1) - 8 = -5

(2 – COS((Pi*0)/4))*(2 + COS((Pi*0)/4))-8 = (2 - 1)*(2 + 1) - 8 = -5

(2 – COS((Pi*8)/4))*(2 + COS((Pi*8)/4))-8 = (2 - 1)*(2 + 1) - 8 = -5

Ограничим влияние тригонометрической функции на функцию в целом приравняв её к нулю

(2 – 0)*(2 + 0)-8 = (2*2) - 8 = -4 получаем точку максимума для второй функции. Точка минимума для первой функции нам известна – это (2, -4) проверим систему уравнений при приравнивании функций к -4

х²-4х = -4

(2 – COS((Pi*x)/4))*(2 + COS((Pi*x)/4))-8 = -4

(2 – COS((Pi*x)/4))*(2 + COS((Pi*x)/4)) = 4

4 + 2 COS((Pi*x)/4) - 2 COS((Pi*x)/4) – COS²((Pi*x)/4) = 4

4 - COS²(Pi*x)/4) = 4

COS²((Pi*x)/4) = 0

COS((Pi*x)/4) = 0

COS((Pi*x)/4) = COS(Pi/2)

(Pi*x)/4 = Pi/2

x = 4Pi/2Pi = 2

Таким образом мы приходим к выводу что графики функций пересекаются с точке (2, -4)

В Excel это будет выглядеть следующим образом

Ответ: 2

В четвёртом примере мы рассмотрим следующее уравнение

Начнём решение данного уравнения с анализа правой стороны нашего уравнения. Исходя из ограниченности выходных данных тригонометрических функций рассмотрим два крайних результата выдаваемых функцией при сos(5PiX/8) = 1 и -1, а также при равенстве 0.

В первом варианте y = (1 – 7^1/2)(1+7^1/2) = 1 – 7 = -6 (max)
y = (-1 – 7^1/2)(-1+7^1/2) = 1 – 7 = -6 (max)
y = (0 – 7^1/2)(0+7^1/2) = -7 (min)

Как видим вторая функция ограничена в пределах от -7 до -6.

Создаём систему уравнений
-25х²+40х-23=-7
(cos(5Pix/8) – 7^1/2)( cos(5Pix/8)+7^1/2)=-7

Находим корни для первого уравнения:
х = 0,8
cos(5Pix/8) = 0
cos(5Pix/8) = cos(Pi/2)
5Pix/8 = Pi/2
х = 8Pi/10Pi = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

ПРИМЕР 6: Решить уравнение:

Функция левой стороны уравнения ограничена отсутствием возможности извлечения квадратного корня из отрицательного числа
16 – (4х +5)² = 0
Таким образом мы видим, что функция существует только на отрезке от на котором выполняется условие
(4х +5)² 4х +5 = -4
4x x = -9
x max) x = -9/4 = -2,25 (min)
График функции симметричен и мы можем найти точку максимума -0,25 – (-2,25) = 2
Отрезок существования функции 2 единицы, т.о. точка максимума графика функции в точке (max) = -2,25 + (2/2) = -2,25 + 1 = -1,25
В этой точке левая функция имеет f(x) = 4

Правая функция ограничена выходными данными тригонометрической функции COS()
т.к. в функции находиться квадрат COS() его результат заведомо является положительным числом. Ограниченность правой функции по оси ординат составляет от 4 до 5. Как мы видим обе функции могут пересекаться только в точке 4 по оси ординат.

Система уравнений выглядит следующим образом

4 + COS(2Pix/5) = 4
только при COS(2Pix/5) = 0
COS(2Pix/5) = COS(Pi/2) для 90 градусов
2Pix/5 = Pi/2
x = 5Pi/4Pi
x = 1,25
Принимая во внимание тот факт что правая функция является периодичной необходимо найти её шаг
COS(2Pix/5) = COS(3Pi/2) для 270 градусов
2Pix/5 = 3Pi/2
x = 15Pi/4Pi
x = 3,75

Составляем пропорцию = т.о. шаг на каждые 90 градусов составляет 1,25. Отсюда следует что точка (-1,25, 4) принадлежит обеим функциям и является решением уравнения.

ОТВЕТ: -1,25