Урок по геометрии "Правильные многогранники"

Урок геометрии по теме "Правильные многогранники".

Цели урока:

1. Обучающие:

- Ввести понятие правильного многогранника.

- Рассмотреть свойства правильных многогранников.

- Обобщить и систематизировать сведения о многогранниках.

- Развивать умения и навыки уч-ся выделять конкретные виды из многообразия многогранников, решать задачи.

2. Развивающие:

- Формирование пространственных представлений учащихся.

- Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

- Развитие монологической речи учащихся.

- Продолжить формирование у учащихся логического мышления, пространственного воображения, умения ориентироваться в экстремальных ситуациях, работать коллективно и индивидуально

. Воспитательные:

- Воспитание эстетического чувства.

- Воспитание умения слушать.

- Продолжить воспитание чувства сопереживания за своих товарищей, ответственности за результаты совместной деятельности, толерантного отношения к соперникам.

- Формирование интереса к предмету.

Тип урока: изучение нового материала с элементами закрепления ранее изученного.

Задачи урока:

Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.

Оборудование: Мультимедийный проектор, наборы правильных многогранников, раздаточный материал (карточки с таблицей), демонстрационные модели многогранников (склеенные тетраэдры, параллелепипед).

Ход урока

Как много

В нашем мире красоты,

Которой, часто мы не замечаем.

Все потому,

Что каждый день встречаем

Её давно знакомые черты.

Мы знаем,

Что красивы облака,

Река, цветы,

Лицо любимой мамы,

И Пушкина, летящая строка,

И то,

Что человек

Красив делами…

Но, можно ли всё это объяснить?

И что подскажут в этом нам науки?

Взгляните, мир чудесен и красив

Надеюсь, что урок пройдет без скуки.

Сформулировать цели и задачи урока.

1. На сегодняшнем уроке нам необходимо:

а) ввести понятие правильного многогранника;

б) рассмотреть свойства правильных многогранников;

в) провести исследовательскую работу, которая называется «Формула Эйлера»;

г) послушать сообщение “Правильные многогранники в философской картине мира Платона”, и познакомиться с тем, как же использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные и художники много веков назад.

Группа делится на 5 – 6 команд.

На демонстрационном столике 5 моделей многогранников. Каждая группа должна «опознать» их, записать полностью их «Имена». Учитывается быстрота и точность выполнения задания.

3. Изучение новых знаний и способов действий.

Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники” и эпиграфом урока являются слова: « В мире нет места для некрасивой математики»

(Слайд № 1)

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “ Правильные многогранники”. Два понятия в формулировке темы урока вам знакомы, многогранники и правильные.

Мы рассматривали в течение ряда уроков разные многогранники. Теперь попытаемся дать общее определение многогранника. В различных учебниках определение даётся по-разному. В большинстве своём они очень громоздки и трудны в применении и в понимании.

1. Многогранник - (определение) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями.

2. Многогранник в трехмерном пространстве (понятие многогранника) - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.

1. Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

2. МНОГОГРАННИК-часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника, причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.

Попробуйте дать своё определение.

Работа в командах.

Заслушать несколько определений, обсудить и проверить правильность данного понятия.

Посмотрите на рисунок в чём разница между многогранниками?

Сформулируйте по какому признаку можно разделить эти многогранники?

Работа в командах.

Многогранники бывают: Выпуклыми Невыпуклыми

Выпуклый многогранник.

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

(Слайд № 2). Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными?

Послушайте внимательно определение.

(Слайд № 3). Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

(Слайды № 4 - 8). Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.

Правильный тетраэдр;

Куб или правильный гексаэдр;

Правильный октаэдр;

Правильный додекаэдр;

Правильный икосаэдр

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии".

Попробуйте распределить многогранники по стихиям: Работа в командах.

Проверка и объяснение выбранных соотношений.

Проверим, как это сделал Платон.

Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх.

Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый.

Куб - землю, как самый "устойчивый.

Октаэдр - воздух, как самый "воздушный".

Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Эти многогранники могут являться символами ваших выбранных специальностей.

Экологи – земля - куб

Гидрологи – вода – икосаэдр.

Метеорологи – воздух – октаэдр.

Радиотехники – огонь – тетраэдр.

Подумайте, имеют ли они отношение к нашей теме?

1) соль и спичечный коробок.

(поваренная соль, ее кристаллическая решетка имеет форму куба, а спичечный коробок - форму прямоугольного параллелепипеда).

2) детский калейдоскоп и пакет молока.

(внутри детского калейдоскопа находится зеркальная правильная треугольная призма, пакет молока имеет форму тетраэдра).

3) алмазный стеклорез и кубик Рубика.

(алмаз - октаэдр, и куб).

4) газовая зажигалка и перстень с камнем.

(строение молекулы газа метана - тетраэдр, кристаллическая решетка драгоценных камней - икосаэдр, додекаэдр).

Применение многогранников. Примеры команд.

1. Тетраэдр в последнее время находит все более широкое применение при упаковке жидких и сыпучих продуктов - это пакеты с молоком, сливками и т.д.

2) Кубик Рубика. Его чаще называют венгерским шарнирным кубиком: он был изобретен в 1975 поду преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

3) Во время второй мировой войны использовалось устройство для прокалывания автомобильных шин (этот же рисунок можно было бы рассматривать как модель атома углерода). У такого «ежа» одна колючка обязательно торчит вверх. Ежей разбрасывали по дорогам и, как показала практика, благодаря форме они прокалывали шины на максимальную глубину.

Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)

Работа в командах.

Проверим результаты заполнения таблицы (слайд № 9).

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” - 12

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности ”

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

(Слайд № 10). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

(Слайд № 12). Задача 1. Определите количество граней, вершин и

рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Правильные многогранники нашли своё применение в разных областях нашей жизни. Работа в командах.

Живопись

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

(Слайд №13)

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

(Слайд № 14)

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

Мировозрение

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой. Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет. Cлайд№18

Биология

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Cлайд№20

В молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Cлайд№21

Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи. Cлайд№22

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.

Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Cлайд№23

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Cлайд№24

Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

В трехмерном пространстве деления сферы ведут к созданию пяти правильных многогранников, так называемых пяти тел Платона. Формы Платона связаны с человеческим телом и природой сознания, раскрытие которой ведет не только к понимание интеллекта Вселенной, но и к эмпирическому восприятию Бога, даруя ощущение глубокой всеобщей взаимосвязи элементов бытия. Здесь особую роль играет число 5. Оно связано с зарождением жизни на земле и в то же время с бессмертием.

Первичные многоугольники и многогранники — фундаментальные образцы творения, представляющие творческие силы самоорганизации, которые формируют и определяют мир. Все в природе может быть описано в терминологии математических принципов, которые свойственны этим формам.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Дома: Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор.

Оформить альбом «Многогранники», сделать модели многогранников.