Конспект уроку з геометрії "Правильні многогранники"

Епіграф:

«Немає жодної галузі математики, якою б абстрактною вона не була, що коли-небудь не виявиться застосованою для явищ дійсного світу» М.І.Лобачевский

ІІІ Вивчення нового матеріалу

Визначення правильних многогранників, які даються в різних підручниках, рекомендованих для загальноосвітніх шкіл, є багато. Розглянемо декілька з них

• «Опуклий багатогранник називається правильним, якщо всієї його грані – правильні багатокутники й у кожній його вершині сходиться однакова кількість ребер». (Л.С. Атанасян «Геометрія, 10-11 класи» )

• “Багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники, а всі його вершини однаково віддалені від деякої точки - центра правильного багатокутника” (Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. Геометрія 7-11 класи )

• “Якщо всі грані опуклого багатогранника - конгруентні правильні багатокутники й число ребер, що виходять із кожної вершини, однаково, то багатогранник називається правильним” (В. М. Клопський, З. А. Скопець, М. И. Ягодовський. Геометрія. Навчальний посібник для 9-10 класів середньої школи).

Їх ще називають платоновими тілами.

Спробуйте визначити найголовніше з прочитаних означень та записати в «робочий зошит»

Запишемо основні властивості правильних многогранників:

• всій його грані рівні правильні багатокутники.

• всі плоскі кути рівні,

• всі двогранні кути, що містять дві грані із загальним ребром, рівні,

• всі ребра рівні,

• всі багатогранні кути рівні,

• у кожній вершині сходиться однакова кількість ребер,

• всі його вершини однаково віддалені від центра правильного багатогранника.

Правильних многогранників всього п’ять, але Льюіс Керролл так сказав про них: «Правильних багатогранників до неподобства дуже мало, але цей досить скромний по чисельності загін зумів пробратися в самі глибини різних наук».

Тож давайте познайомимось з ними.

(Викладач знайомить учнів з правильними многогранниками за допомогою слайдового супровіду та моделей, учні під час пояснення заповнюють таблицю)

Тетраедр:

• Чотиригранник

• Назва походить від грецького «тетра», тобто чотири

• Має 4 грані – рівносторонні трикутники.

• Чотири – це найменше число граней, що відокремлюють частини тривимірного простору.

Гексаедр:

• Шестигранник

• Назва походить від грецького «гекса», тобто шість.

• Всі 6 його граней – квадрати, що сходяться по дві уздовж кожного ребра й по три у кожній вершині.

• Інша назва – куб.

Октаедр:

• Восьмигранник

• Назва походить від грецького «окта», тобто вісім.

• складається з 8 правильних трикутників

• протилежні грані лежать у паралельних площинах

Додекаедр:

• Дванадцятигранник

• Назва походить від грецького «до дека», тобто дванадцять

• складається із 12 правильних п'ятикутників.

Ікосаедр:

• двадцятигранник

• від грецького «ікос», тобто двадцять

• складається із 20 правильних трикутників.

(Викладач демонструє заповнену таблицю, учні звіряють.)

ІV. Проміжне закріплення ЗУН

Порахуйте таку суму: грані+вершини-ребра

Скільки у вас вийшло?

Німецький математик Леонард Ейлер вивів формулу залежності граней вершин та ребер будь-якого многогранника: Г+В-Р=2 , де Г- кількість граней, В- кількість вершин, Р – кількість ребер

Для обчислення площ поверхонь та об’ємів Платонових тіл використовуються формули (демонстрація), ці формули запропоновані вам у опорному конспекті, їх ви можете використовувати під час розв’язування задач.

У своїх філософських теоріях правильні многогранники застосовували багато вчених

Ще в Древній Греції були описані всі правильні багатогранники. Особливо важливе місце багатогранникам приділяли піфагорійці – учні школи Піфагора (VI – V століття до н.е.), де устрій світу тісно зв'язувався з геометрією, геометричним тілами.

Докладно описав властивості правильних багатогранників давньогрецький учений, філософ-ідеалісти Платон (428 –348 до н.е.). Тому ці багатогранники звуться «Платонові тіла».

• тетраедр символізував вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору, як у полум’я;

• гексаедр (куб) – це сама стійка з фігур – отже втілює в собі землю,

• октаедр – повітря

• ікосаедр – як самий обтічний – воду;

• додекаедр – втілював у собі «все суще», символізував увесь світ і шанувався найголовнішим.

Із приводу його Платон обмежується зауваженням, що «його бог визначив для Всесвіту й удався до нього, коли розмальовував його й прикрашав».

Перевіримо чи запам’ятали ви назви Платонових тіл. (на слайді з’являються стрілки, учні повинні назвати вказане тіло на аркушах з математичним диктантом)

Тепер, коли ми познайомились з всіма правильними многогранниками, можна вирушати у подорож і з’ясувати, де вони зустрічаються і чи потрібно їх вивчати. Як бачите зі слайду правильні многогранники поширені в різних галузях. Але як саме давайте детальніше познайомимось під час нашої уявної подорожі, під час якої вам треба заповнити в «Робочому зошиті» стовпець під назвою «Зустріч»

Зупинка №1: Географія

• Помічено, що Земля послідовно проходить еволюцію правильних обємних тіл. Вважають, що чотирьом геологічним ерам Землі відповідає чотирі силових каркаса Платонових тіл: Протерозою – тетраедр (чотирі плити); Палеозою – гексаедр (шість плит); Мезозою – октаедр (вісімь плит); Кайнозою – додекаедр (дванадцать плит).

• Існує припущення про те, що двадцять районів планети (вершини додекаедра) є центрами поясів вихідної речовини - основ біологічного життя: флора, фауна, людина

• Кристали – тверді тіла, природна форма яких має вид правильних многогранників це наслідок упорядкованого розміщення в кристалах атомів, що утворюють кристалічну решітку.

• Дендрити – це скелетні кристали, при різкій різниці швидкості росту по різним напрямкам кристал заповнює не все тіло уявного многогранника, а лише його частину

• Шостий елемент періодичної системи С (карбон) характеризується структурою октаедра. Кристали алмазу зазвичай мають форму октаедра. Алмаз – безбарвний або офарбований кристал з сильним сяйвом у вигляді октаедра.

• Ще один правильний многогранник – ікосаедр передає форму кристалів бора (B). Свого часу бор використовували для створення півпровідників першого покоління.

Зупинка №2 : Хімія

• Більш 300 років тому гамбургський алхімік Геннінг Бранд відкрив новий елемент – фосфор. Подібно іншим алхімікам, Бранд намагався відшукати еліксир життя або філософський камінь, за допомогою якого старі б молодшали, хворі одужували, а звичайні метали перетворювались на золото. Під час одного з дослідів він випарив сечу, змішав залишок з вуглем, піском і продовжив випарювання. Внаслідок цього в реторті утворилась речовина, що світилась у темряві.

• Кристали білого фосфору утворені молекулами Р4 . Така молекула має форму тетраедра.

• Кристалічна решітка метану має форму тетраедра.

• Молекули дзеркальних ізомерів молочної кислоти також мають форму тетраедра.

• В різних хімічних реакціях використовується сурьменистий сірчанокислий натрій – речовина, що синтезована науковцями. ЇЇ кристал має форму тетраедра.

• При виробництві алюмінію використовують алюмінієво-калієві квасци , монокристал яких має форму правильного октаедра.

• Отримання заліза, особливих сортів цементу не обходиться без сірчистого колчедану. Кристали цього хімічної речовини мають форму додекаедра

• Куб передає форму кристалів куховарської солі NaCl

• Молекула фулерена С₆₀ – зрізаний ікосаедр. Він має 32 грані (12 пятикутних и 20 шестикутних), 60 вершин и 90 ребер

• Зупинка №3: Цікаво, що ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх суперечках відносно форми деяких вірусів. Вірус не може бути ідеально круглим, як вважили раніше. Для того щоб визначити його форму, брали різні многогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атома на вірус. Виявилось, що тільки один многогранник дає точно таку же тінь - ікосаедр.

• Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

• Актеріофа́ги— віруси, які вибірково вражають бактеріальні клітини.

• Радіолярії (або лучевики; лат. Radiolaria) — одноклітинні планктонні організми, що існують переважно в теплих океанічних водах. Радіолярії - модель аденовірусу у формі ікосаедра. Чому цей організм має форму ікосаедра? Виявляється, що з усіх багатогранників з такою самою кількістю граней, ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість ікосаедра допомагає цьому морському організму долати тиск водних глибин

Зупинка №4: Асторономія

Кеплер спробував зв’язати із властивостями правильних многогранників де які властивості Сонячної системи. Цікаво, що виходячи із не наукових міркувань, що планети, вписані в правильні многогранники, Кеплер передрік існування двох супутників Марса

Він запропонував, що відстань між шістьма відомими тоді планетами виражається через розміри п’яти правильних випуклих многогранників

• Навкруги сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр

• Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр.

• Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр.

• Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр

• Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб.

• Навколо куба описана сфера Сатурна.

Ці ідеї продовжили своє життя в наукових гіпотезах Гончарова, Маркова, Морозова: вони вважають, що ядро Землі має форму і властивості ростучого кристалу. Промені цього кристалу обумовлюють ікосаедро - додекаедрові структуру Землі. Гіпотеза отримала назву «Ікосаедро-додекаедрова структура Землі»

Крім п’яти тіл Платона : тетраедр , ікосаедр, додекаедр, октаедр,куб

Існують ще так званні Тіла Архімеда та правильні зірчасті многогранники

Тіло

Кількість ребер

Кількість вершин

Кількість граней

Вигляд граней

Г+В-Р

«Зустріч»

Тетраедр

Гексаедр

Октаедр

Додекаедр

Ікосаедр