Урок обобщения и систематизации знаний по теме "Применение производной"

Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме:

«Применение производной»

Урок разработан для учащихся 11 класса. Перед началом урока учащиеся рассаживаются по группам в соответствии с двумя уровнями подготовки. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цели урока:

- обучающие: Обобщить теоретические знания по темам «Геометрический и физический смысл производной», «Применение производной при исследовании функций». Рассмотреть примеры базового и повышенного уровня сложности по данным темам. Организовать работу учащихся в ходе урока на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний. Научить правильно решать задания ЕГЭ по разделу «Производная»;

- развивающие: способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развития математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти;

- воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения взаимоконтроля и самоконтроля своей деятельности, формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-познавательной деятельности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

• Компьютер;

• Проектор;

• Рабочая презентация на урок «Применение производной»;

• Раздаточный материал;

1 этап урока – организационный

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах. ( Слайд 1,2)

Учитель: Исходя из темы урока, какую цель вы можете поставить перед собой? А какие задачи нужно постараться при этом решить?

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.

Учитель: И так, на уроке мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал. Ваша задача показать свои знания по данной теме и умение применять их при выполнении различных заданий, научиться правильно решать задания ЕГЭ по разделу «Производная».

2 этап урока

Проверка домашнего задания.

Домашнее задание представляло собой творческое задание. Учащиеся должны были составить тесты, состоящие из 10 заданий, по теме «Вычисление производной». Учитель проверяет работы учащихся и предлагает ребятам продолжить свою работу, составив по данным тестам презентацию к следующему уроку.

3 этап урока

Повторение теоретического материала.

Цель: актуализировать опорные знания и умения.

1. Геометрический смысл производной.

Учитель обращается к учащимся с вопросом: «В чём выражается геометрический смысл производной?»

Учащиеся отвечают на поставленный вопрос.

1.Геометрический смысл производной. Если к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х₀ можно провести касательную, не параллельную оси Оу, то значение производной равно f’(х₀) равно угловому коэффициенту касательной у = kx + b, то есть k= f’(х₀).

Замечание. Так как угловой коэффициент k=tg α , где α- угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох, то верно равенство f’(х₀)= tg α. (Слайд 3)

Учитель просит учащихся назвать формулу, выражающую уравнение касательной.

Звучит ответ. Уравнение касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х₀ имеет вид у= f (х₀) + f’(х₀)(х- х₀).

Устная работа по решению простейших задач на тему

« Геометрический смысл производной».

Цель: проверить, оценить знания, умения и навыки учащихся.

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы следующего содержания (приложение №1):

Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на сформулированные вопросы, комментируя свой ответ ссылкой на соответствующий теоретический факт.

2. Физический смысл производной.

Учитель просит учащихся ответить на вопрос « В чём заключается физический смысл производной?».

Ответ. Если материальная точка движется прямолинейно по закону s(t), то производная функции у = s(t) выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t₀, т.е. v = s’(t₀). Ускорение тела в момент времени t₀ можно найти по формуле: а = v’(t₀).

Учитель совместно с учащимися приходит к выводу, что если s’(t₀) = 0, то в момент времени t₀ точка останавливается. (Слайд 4)

Устная работа по решению простейших задач на тему «Физический смысл производной».

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы следующего содержания (приложение №2):

Взаимопроверка заданий по готовым ответам. (Слайд 5)

3. Исследование функций с помощью производной.

Перед решением задач учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основании которых можно исследовать функцию, применяя производную.

Повторение теоретического материала изложено в презентации. Учащиеся отвечают на вопросы учителя, при решении задач на слайдах. (Слайд 6-12)

4. Признак возрастания (убывания) функции.

В ходе выполнения задач учащиеся вспоминают и формулируют признаки возрастания и убывания функции. Должны прозвучать определения:

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x₀), то функция у=f(х) возрастает на промежутке Х.

2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x₀), то функция у=f(х) убывает на промежутке Х.

5. Критические точки. Экстремумы.

Звучат определения:

1.Критическими точками функции у = f(х) называются внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

2. Точка х=х₀ называется точкой минимума функции у = f(х), если существует окрестность точки х₀ , для каждой точки которой ( кроме самой точки х₀) выполняется неравенство f (x) f (x₀).

3. Точка х=х₀ называется точкой максимума функции у = f(х), если существует окрестность точки х₀ , для каждой точки которой (кроме самой точки х₀) выполняется неравенство f (x) f (x₀).

Учащиеся говорят, что точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.

Учитель просит учеников назвать достаточные условия экстремума.

Ответы. Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f' (x)0 на интервале (а; х₀) и f' (x) на интервале (х₀;b), то точка х₀ является точкой максимума функции f. Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f' (x)0 на интервале (а; х₀) и f' (x) на интервале (х₀;b), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

6. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Учитель напоминает учащимся, что функция у = f(х) непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наименьшего и наибольшего значений. Очень важно помнить, что наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться как внутри отрезка ( только в критической точке), так и на его концах. Учитель просит учеников самостоятельно вспомнить и записать в тетрадях схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Дети делают записи, оказывается помощь в составлении плана решения слабым учащимся.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. (Слайд 13)

1. Найти производную f'(х) функции у = f(х).

2. Найти критические точки лежащие внутри отрезка .

3. Вычислить значения функции у = f(х) в найденных точках и на концах отрезка. Выбрать среди полученных значений наибольшее ( у_наиб.) и наименьшее ( у_наим.).

4 этап урока

Закрепление материала.

Цель: всесторонняя проверка знаний.

Решение задач из открытого банка данных, условия которых показаны на слайдах. ( Слайд 14-19)

Учитель: «Таким образом, мы с вами вспомнили все свойства, определения, применения производной при исследовании функций».

4 этап урока

Разноуровневая самостоятельная работа.

Цель: проверить, оценить знания, умения и навыки учащихся.

Учитель выдаёт задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на её выполнение отводится 15 минут. Самостоятельная работа состоит из двух уровней по 2 варианта в каждом.

Учащимся 1-й группы учитель выдает карточки первого уровня с задачами базового и повышенного уровня сложности.

Учащиеся 2-й группы получают карточки второго уровня с задачами базового уровня сложности.

Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает детям выполнять задания наводящими вопросами.

Выполнивший работу учащийся проверяет самостоятельно по ключу (приложение 3). По критериям оценивает свою работу. Учитель перепроверяет и выставляет соответствующую отметку.

5 этап урока

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель еще раз обращает внимание, на теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из самостоятельной работы, который они не решали и коллективная работа по составлению презентации по теме «Вычисление производной».