Урок математики "Вероятности элементарных событий"

Цели урока:

 Образовательные: Ввести классическое определение вероятности события, сформулировать правило вычисления вероятностей.

 Развивающие: Развивать внимание, логическое мышление, самостоятельность мышления.

 Воспитательные: Формировать качество личности: организованность, аккуратность.

Оборудование к уроку:

 1. Игральные кубики на каждом столе

 2. Монеты у каждого ученика

Ход урока:

 1.  Актуализация опорных знаний и умений.

 а) Вопросы к классу:

 1) Что мы называем случайным опытом или экспериментом?

 2) Приведите примеры возможных случайных опытов.

 3) Какие события называем элементарными?

 4) Какие события называем достоверными, невозможными, случайными?

 5) Какие события называем равновозможными?

Учитель: Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По - видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом « случайный» Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах». И мы последуем этому совету.

 б) У вас на столах лежат игральные кубики. Подбросьте два кубика. Посмотрите какие события произойдут.

А теперь внимание на доску. ( На доске записано задание)

А=( на кубиках выпало одинаковое число очков)

В=( сумма очков на кубиках не превосходит 12)

С=( сумма очков на кубиках равна 11)

Д=( произведение очков на кубиках равно 11)

Вместе обсудить какие события являются случайными, какие достоверными, а какие невозможными (А; С - случайные; В - Достоверное; С - невозможное)

 в) Рассмотрим задачу:

 В коробке лежат 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможны, какие случайны, а какие достоверны?

( на доске записано или проектируем на экран)

А=( Все вынутые шары одного цвета)

В=( Все вынутые шары разных цветов)

С=( Среди вынутых шаров есть шары разных цветов)

Д=( Среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов)

 Учащиеся выполняют это задание самостоятельно 2 - 3 мин. По окончанию работы проверить результаты ( Аи В невозможные, С - достоверное, В - случайное).

2. Изучение нового материала.

Объявляется тема урока, формулируем проблему(задачи) урока.

Учитель: Говоря о достоверном событии мы не будем применять слово «вероятно». Вряд ли мы скажем: «Вероятно завтра будет четверг». Для невозможного события, мы могли бы сказать: « Уверен, что завтра не пятница», или «вероятность того, что завтра пятница нуль».

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными событиями. В этом случае мы используем слова « более вероятно», « менее вероятно».

Спроектировать на экран текст задачи:

А=( в следующим году первый снег выпадет в воскресенье)

В=(свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом в низ)

С=(при бросании кубика выпадет шестерка)

Д=(при бросании кубика выпадет четное число очков)

Е=(при бросании кубика выпадет семерка)

F=(в следующем году выпадет снег)

Учащимся предлагаем изобразить шкалу.

Невозможные  случайные  достоверные

Шкала не совсем настоящая, на ней нет делений, трудно подсчитать шансы случайных событий. Поэтому возникла необходимость вычислить вероятность события, иными словами нужны точные количественные характеристики. Учащимся предлагается самостоятельно на шкале отметить положение каждого из событий задачи.

Учитель: « Я тоже расположила эти события на шкале, вот, что получилось. Согласны ли вы со мной?»

Учащиеся должны прийти к выводу, что Д следует поставить на середине шкалы. Первые шаги в вычислении вероятностей событий мы уже сделали.

Учитывая, что 100%=1, люди договорились

  1) вероятность достоверного события считать - 1

  2) вероятность невозможного события - 0

 А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям. Оказываться, и в мире случайного действуют определённые законы.

Этим занимается раздел математики, который называется «теорией вероятностей».

 Возьмите в руки кубики.

 При бросании кубика сколько различных элементарных событий может произойти?(6) Сколько событий благоприятных событию «выпадет 4»? (1)

Сформулируем правило:

1) Число всех возможных исходов - N

2) Все исходы равновозможны

3) Количество благоприятных исходов - N(A)

4) Р(А) - вероятность события А

  N(A)

P(A) = N

Слово вероятность по - французски - probabilite, по - английски - probability.

Учащимся предлагается по учебнику прочитать правило вычисления вероятностей.

Первичное закрепление изученного.

 Задача 1.

 Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события

«выпало четное число очков».

   3 1

Решение: N=6; N(A)=3; P(A)= 6 = 2

Задача 2.

Учащимся был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0, 5”. И объяснил свой ответ: «Тройка выпадет или нет. Значит всего исходов 2, т. е. N=2 и ровно в одном наступает интересующие нас событие, значит P(A)=!!!”.

Где же нарушение?

После решения этой задачи сформулировать:

Замечание1 Рассмотренное определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами.

Замечание2 Рассуждая о вероятности не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка 1, то совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, мы получим 1 очко ровно 1 раз, кинув 12 раз получим 1 очко ровно два раза. Вероятность носит предположительный характер. Мы предполагаем, что скорее всего произойдет. Вероятно бросив кубик 600 раз одно очко выпадет около 100 раз.

Задача 3 Ошибка Даламбера.

Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1) Обе монеты упали на «орла»

2) Обе монеты упали на «решку»

3) Одна из монет упала на «орла», другая на «решку».

N=3; N(A)=2; P(A)=2

Учащимся предложить подбросить две монеты и найти ошибку в предложенном решении.

Правильное решение.

1) Орел, орел

2) Решка, решка

3) Орел, решка

4) Решка, орел

N=4; N(A)=2; P(A)=2 =1

Нельзя объединять два принципиально разных исхода в один. Природа различает все предметы.

Проверка усвоения изученного.

 Выполнить задачи № 4; № 5; № 6 стр. 106 по учебному пособию(1). Или решить задачи из приложения 1.

Домашнее задание: п. 31, № 1, № 2, № 7.

Тема: « Вероятности элементарных событий»

Цели урока:

Образовательные: Ввести классическое определение вероятности события, сформулировать правило вычисления вероятностей.

Развивающие: Развивать внимание, логическое мышление, самостоятельность мышления.

Воспитательные: Формировать качество личности: организованность, аккуратность.

Оборудование к уроку:

1. Игральные кубики на каждом столе

2. Монеты у каждого ученика

1. Актуализация опорных знаний и умений.

а) Вопросы к классу:

1) Что мы называем случайным опытом или экспериментом?

2) Приведите примеры возможных случайных опытов.

3) Какие события называем элементарными?

4) Какие события называем достоверными, невозможными, случайными?

5) Какие события называем равновозможными?

Учитель: Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По - видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом « случайный» Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах». И мы последуем этому совету.

б) У вас на столах лежат игральные кубики. Подбросьте два кубика. Посмотрите какие события произойдут.

А теперь внимание на доску. ( На доске записано задание)

А=( на кубиках выпало одинаковое число очков)

В=( сумма очков на кубиках не превосходит 12)

С=( сумма очков на кубиках равна 11)

Д=( произведение очков на кубиках равно 11)

Вместе обсудить какие события являются случайными, какие достоверными, а какие невозможными (А; С- случайные; В - Достоверное; С - невозможное)

в) Рассмотрим задачу:

В коробке лежат 3 красных, 3 желтых,3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможны, какие случайны, а какие достоверны?

( на доске записано или проектируем на экран)

А=( Все вынутые шары одного цвета)

В=( Все вынутые шары разных цветов)

С=( Среди вынутых шаров есть шары разных цветов)

Д=( Среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов)

Учащиеся выполняют это задание самостоятельно 2-3 мин. По окончанию работы проверить результаты ( Аи В невозможные, С -достоверное, В - случайное).

2. Изучение нового материала.

Объявляется тема урока, формулируем проблему(задачи) урока.

Учитель: Говоря о достоверном событии мы не будем применять слово «вероятно». Вряд ли мы скажем: «Вероятно завтра будет четверг». Для невозможного события, мы могли бы сказать: « Уверен, что завтра не пятница», или «вероятность того, что завтра пятница нуль».

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными событиями. В этом случае мы используем слова « более вероятно», « менее вероятно».

Спроектировать на экран текст задачи:

А=( в следующим году первый снег выпадет в воскресенье)

В=(свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом в низ)

С=(при бросании кубика выпадет шестерка)

Д=(при бросании кубика выпадет четное число очков)

Е=(при бросании кубика выпадет семерка)

F=(в следующем году выпадет снег)

Учащимся предлагаем изобразить шкалу.

._______________________________.

0 1

Невозможные случайные достоверные

Шкала не совсем настоящая, на ней нет делений, трудно подсчитать шансы случайных событий. Поэтому возникла необходимость вычислить вероятность события, иными словами нужны точные количественные характеристики. Учащимся предлагается самостоятельно на шкале отметить положение каждого из событий задачи.

Учитель: « Я тоже расположила эти события на шкале, вот, что получилось. Согласны ли вы со мной?»

E A C Д B F

._______.________._________________.______.___________.

0 1

Учащиеся должны придти к выводу, что Д следует поставить на середине шкалы. Первые шаги в вычислении вероятностей событий мы уже сделали.

Учитывая, что 100%=1, люди договорились

1) вероятность достоверного события считать - 1

2) вероятность невозможного события - 0

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям. Оказываться, и в мире случайного действуют определённые законы.

Этим занимается раздел математики, который называется «теорией вероятностей».

Возьмите в руки кубики.

При бросании кубика сколько различных элементарных событий может произойти?(6) Сколько событий благоприятных событию «выпадет 4»? (1)

Сформулируем правило:

1) Число всех возможных исходов - N

2) Все исходы равновозможны

3) Количество благоприятных исходов- N(A)

4) Р(А) - вероятность события А

N(A)

P(A) = N

Слово вероятность по-французски- probabilite, по-английски -probability.

Учащимся предлагается по учебнику прочитать правило вычисления вероятностей.

Первичное закрепление изученного.

Задача 1.

Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события

«выпало четное число очков».

3 1

Решение: N=6; N(A)=3; P(A)= 6 = 2

Задача 2.

Учащимся был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0,5”. И объяснил свой ответ: «Тройка выпадет или нет. Значит всего исходов 2, т.е. N=2 и ровно в одном наступает интересующие нас событие, значит P(A)=!!!”.

Где же нарушение?

После решения этой задачи сформулировать:

Замечание1 Рассмотренное определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами.

Замечание2 Рассуждая о вероятности не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка 1, то совсем не значит, что, кинув

6

кубик 6 раз, мы получим 1 очко ровно 1 раз, кинув 12 раз получим 1 очко ровно два раза. Вероятность носит предположительный характер. Мы предполагаем, что скорее всего произойдет. Вероятно бросив кубик 600 раз одно очко выпадет около 100 раз.

Задача 3 Ошибка Даламбера.

Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером.

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1) Обе монеты упали на «орла»

2) Обе монеты упали на «решку»

3) Одна из монет упала на «орла», другая на «решку».

N=3; N(A)=2; P(A)=2

3

Учащимся предложить подбросить две монеты и найти ошибку в предложенном решении.

Правильное решение.

1) Орел, орел

2) Решка, решка

3) Орел, решка

4) Решка, орел

N=4; N(A)=2; P(A)=2 =1

4 2

Нельзя объединять два принципиально разных исхода в один. Природа различает все предметы.

Проверка усвоения изученного.

Выполнить задачи № 4; № 5; № 6 стр. 106 по учебному пособию(1). Или решить задачи из приложения 1.

Домашнее задание:

п. 31, № 1, № 2, № 7.

Использованная литература:

1. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И. Р. Высоцкий, Я. В. Ященко. Теория вероятностей и статистика.

В настоящее время закончилась подготовка, и уже начались практические мероприятия по включению в школьный курс математики новой содержательной линии - « элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей».

Урок по теме « Вероятность случайных событий» может быть проведен как в 8 классе, так и в 9 классе, в зависимости от учебного пособия, которым пользуется учитель.

Это урок изучения нового материала, то есть введение классического определения вероятности. Учащиеся повторяют материал, изученный на предыдущих занятиях (события достоверные, случайные и маловероятные) и, используя свой практический опыт, ранее изученный материал, приходят к необходимости ввести числовую характеристику случайных событий.

На уроке решается достаточно задач для закрепления новых понятия. К уроку прилагаются дополнительные задачи, которые можно решать как на уроке, так и предложить как домашнюю работу.