Упрощение тригонометрических выражений

Упрощение тригонометрических выражений

Равенства

1)sin² t + cos² t = 1( синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tg t = , при t ≠   + πk, kϵZ( тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctg t =  , при t ≠ πk, kϵZ( котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tg t ∙ ctg t = 1 при t ≠   , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

называют основными тригонометрическими тождествами.

Часто они используются при упрощении и доказательстве тригонометрических выражений.

Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 1.Упростить выражение: cos² t – cos⁴ t + sin⁴ t . (выражение а косинус квадрат тэ минус косинус четвертой степени тэ плюс синус четвертой степени тэ).

Решение. cos² t – cos⁴ t + sin⁴ t = cos² t∙ ( 1 - cos² t) + sin⁴ t =cos² t ∙ sin² t + sin⁴ t = sin² t (cos² t + sin² t) = sin² t·1= sin² t

( вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно по первому тождеству квадрату синуса тэ. Получим сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ. общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому тождеству равно единице. В итоге получим квадрат синуса тэ).

ПРИМЕР 2.Упростить выражение:   +   .

(выражение бэ сумма двух дробей в числителе первой косинус тэ в знаменателе единица минус синус тэ , в числителе второй косинус тэ в знаменателе второй единица плюс синус тэ).

Решение.   +  =   ( + )=   ∙ =

=   ∙ =  .

( Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.

В числителе получим: единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен двум после приведения подобных.

В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству

равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ : два деленное на косинус тэ).

Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 3. Доказать тождество (tg ² t – sin ² t) ∙ ctg ² t = sin ² t (произведение разности квадратов тангенса тэ и синуса тэ на квадрат котангенса тэ равно квадрату синуса тэ).

Доказательство.

Преобразуем левую часть равенства:

(tg ² t – sin ² t) ∙ ctg ² t = tg ² t ∙ ctg ² t - sin ² t ∙ ctg ² t = 1 - sin ² t ∙ ctg ² t =1 - sin ² t ∙   = 1 – cos ² t = sin ² t

( Раскроем скобки, из ранее полученного соотношения известно, что произведение квадратов тангенса тэ на котангенс тэ равно единице. Вспомним, что котангенс тэ равен отношению косинуса тэ на синус тэ, значит, квадрат котангенса это отношение квадрата косинуса тэ на квадрат синуса тэ. После сокращения на синус квадрат тэ получим разность единицы и косинуса квадрата тэ, что равно синусу квадрату тэ). Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg ² t + ctg ² t ,если tg t + ctg t = 6.

( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).

Решение. (tg t + ctg t)² = 6²

tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36

tg ² t + 2 + ctg ² t = 36

tg ² t + ctg ² t = 36-2

tg ² t + ctg ² t = 34

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tg t + ctg t)² = 6² ( квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате). Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)²=a²+2ab+b² Получим tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то tg ² t + 2 + ctg ² t = 36 ( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),

значит tg ² t + ctg ² t = 34 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ равна тридцати четырем). Ответ: 34.