Учебный элемент по математике "Определенный интеграл"

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

Понятие определенного интеграла.

Физический смысл определенного интеграла.

Формулу Ньютона - Лейбница.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

персональный компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

 1. Учебник «А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10 - 11 классы»

 2. Задачник «А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10 - 11 классы»

Задача , приводящая к понятию определенного интеграла. (перемещение точки)

По прямой движется материальная точка. Зависимость ско­рости от времени выражается формулой v=v(t). Найти переме­щение точки за промежуток времени [a;b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s=vt , т. е. s=(b - a).

1) Разделим промежуток времени [a;b] на п равных частей.

Весь материал - смотрите документ.

Учебный элемент

Тема: «Определенный интеграл»

- 5

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

• Понятие определенного интеграла.

• Физический смысл определенного интеграла.

• Формулу Ньютона-Лейбница.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

1. персональный компьютер;

2. мультимедиа проектор;

3. презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1.Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2.Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

Задача , приводящая к понятию определенного интеграла.(перемещение точки)

По прямой движется материальная точка. Зависимость ско­рости от времени выражается формулой v=v(t). Найти переме­щение точки за промежуток времени [a;b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто:s=vt , т.е. s=(b-a).

1)Разделим промежуток времени [a;b] на п равных частей.

2)Рассмотрим промежуток времени и будем счи­тать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени :v=v().

3)Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени (это приближенное значение обо­значим ):

=v()Δ

4)Найдем приближенное значение перемещения s:

≈,где

5)Точное значение перемещения вычисляется по формуле

Запись в тетрадь:

Дадим математическое описание модели, для функции y=f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это пред­полагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [a;b]:

1. разбивают отрезок[a;b] на п равных частей;

2. составляют сумму

3) вычисляют .

В курсе математического анализа доказано, что этот предел су­ществует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x), по отрезку [a;b] и обозначают так:

(читают: интеграл от а до в эф от икс дэ икс). Числа а и в на­зывают пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Из решения задачи приведенной выше, следует, что перемещение s точки , дви­жущейся по прямой со скоростью v=v(t) , за промежуток вре­мени от t = а до t =b, вычисляется по формуле

Это физическое истолкование определенного интеграла.

Есть ли какая-либо связь между определенным интегра­лом и первообразной?

Ключ к разгадке дает задача , приведенная выше, с одной стороны, перемеще­ние s точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t) за промежуток времени от t = а до t = b вычисляется по формуле

С другой стороны, координата движущейся точки есть перво­образная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемеще­ние s выражается формулой s = s(b) — s(а). В итоге получаем

где s(t) — первообразная для v(t).

Запись в тетрадь:

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке[a;b] , то справедлива формула

,

где F(х) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньюто­на—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

Замечание. То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором гово­рит сама природа.

На практике вместо записи F(b) - F(а) используют запись

b

a

(ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде

а

b

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первооб­разную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Пример 1. Вычислить

Решение. Первообразной для x³ служит . Значит,

3

-1

Запись в тетрадь:

Решите примеры: №49.1, №49.2(а,б), (если возникнуть трудности при решении обратитесь к преподавателю).

Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y=sinx и осью абцисс.

Решение: Можно взять полуволну синусоиды от точки х=0 до точки х=π и воспользоваться формулой

при следующих условиях:а=0, в= π, f(x)=sinx. Получим

y=sinx

π

0

Запись в тетрадь:

Решите примеры: стр.167 №49.14, №49.15, (если возникнуть трудности при решении обратитесь к преподавателю).

Проверь себя!!!

Домашнее задание:

Липецкий политехнический техникум

Клещина Н.В.