Текстовые задачи (задание 11 профильного уровня ЕГЭ по математике)

Текстовые задачи

Задание №11 профильного уровня ЕГЭ по математике

1.ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

• Во всех таких задачах допускается определенная идеализация: считается, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости(в том числе скорость течения) постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т.д., движущиеся тела считаются материальными точками, т.е. не имеющими размеров и массы.
• Даже решение задач на движение по окружности не требует применения специальных понятий- угловой скорости и т.п.; точнее было бы говорить о движении по замкнутой трассе

• При решении задач на движение двух тел часто удобно считать одно тело неподвижным, а другое приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей тел (навстречу) или разности скоростей (вдогонку).Такая модель позволяет разобраться с условием задачи даже в таком сложном случае, как движение по окружности.
• Если расстояние между пунктами , из которых начинают движение два тела, не задано, иногда бывает удобно положить его равным единице.

Основные типы задач на движение

• Задачи на движение по прямой(навстречу и вдогонку)
• Задачи на движение по окружности (замкнутой трассе)

• Задачи на движение по воде
• Задачи на среднюю скорость
• Задачи на движение протяженных тел

ДВИЖЕНИЕ НАВСТРЕЧУ

• ПРИМЕР 1

Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

• Если расстояние между двумя телами равно S, а их скорости- V1 и V2, то время, через которое они встретятся, находится по формуле

ДВИЖЕНИЕ ВДОГОНКУ

• Если расстояние между двумя телами равно S, они движутся по прямой в одну сторону со скоростями V1 и V2 соответственно (V1 большеV2) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле

• ПРИМЕР 2
• Два пешехода отправляются из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 м?

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

• Две точки движутся по окружности длины S в одном направлении при одновременном старте со скоростями V1 и V2 (V1 больше V2). Через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг?

• ПРИМЕР 3
• Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второго на один круг. Найдите скорость второго автомобилиста. Ответ дайте в км/ч

ДВИЖЕНИЕ ПРОТЯЖЕННЫХ ТЕЛ

• В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае- расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

• ПРИМЕР 4
• По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 м, второй длиной 80 м. Второй сухогруз отстает от первого на 400 м, но уже через 12 минут опережает первый на 600 м. На сколько км/ч скорость первого меньше скорости второго сухогруза?

ДВИЖЕНИЕ ПО ВОДЕ

• В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения- вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.

• ПРИМЕР 5
• Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения 3 км/ч, стоянка длится 5 ч, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 ч после отплытия из него. Сколько км прошел теплоход за весь рейс?

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ

• Средняя скорость вычисляется по формуле

• ПРИМЕР 6
• Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть- со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть- со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч

где S-путь, пройденный телом, а t- время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все время движения.

2.ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ, ДОЛИ

• Процент-это сотая часть числа. Для того, чтобы найти k % от числа а, достаточно умножить число а на k сотых.
• Попробуем ответить на следующий вопрос: «Если а дороже b на 25%, на сколько % b дешевле а?»

• Кажется, что ответ очевиден: на 25%. Но это не так. В самом деле, а=1,25b, значит, b=0,8а. Значит, b дешевле а на 20%

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ И ДОЛИ

• ПРИМЕР 8
• Семья состоит из трех человек: мужа, жены и дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась на вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько % от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
• Ответ:27%

• ПРИМЕР 7
• Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?
• Ответ:5%

3.ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ, СПЛАВЫ И СМЕСИ

• В таких задачах речь обычно идет об изменении концентрации вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли.

• Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом.

МЕТОД БАНОК

• Название появилось потому, что указанные в задаче вещества изображаются в виде условных банок, каждая из которых делится на две части- верхнюю и нижнюю. В нижней записывается количество чистого или сухого вещества для каждой банки, что позволяет автоматически получить нужное уравнение или даже ответ.

• При решении задач на концентрацию, сплавы и смеси целесообразно для наглядности применять метод, который иногда не вполне научно называют методом банок.

МЕТОД БАНОК

• ПРИМЕР 9
• Найдите концентрацию кислоты, полученной при смешивании 30кг ее 80-процентного и 20кг ее 60-процентного растворов. Ответ выразите в процентах.
• Ответ:72%

• ПРИМЕР 10
• Первый сплав содержит 70% меди, второй-40%. Из этих двух сплавов и 30 кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором меди оказалось 37%. Если бы к первым двум сплавам вместо третьего добавили бы 30 –килограммовый сплав, содержащий 20% меди, то получили бы сплав, в котором меди 43%. Найти массу первого сплава. Ответ выразите в кг.
• Ответ:30 кг

4.ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ

• В определенном смысле задачи на работу схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния- объем работы.

• В тех случаях, когда объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице.
• Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ.

ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ

• ПРИМЕР 12
• Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как первый приступил к работе, к нему присоединился второй, и работу над заказом они довели до конца вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
• Ответ:9

• ПРИМЕР 11
• Маша и Даша за день пропалывают 3 грядки,
• Даша и Глаша-4 грядки,
• Глаша и Маша-5 грядок.
• Сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?
• Ответ:6

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! УДАЧИ НА ЭКЗАМЕНАХ!