Теорема суммы вероятностей. Вероятности противоположных событий

Цель урока: формирование знаний и умений, необходимых для нахождения вероятности событий.

Тип урока: формирование умений и навыков, знаний.

                                                   Ход урока.

1. Орг. момент.

Сообщение темы и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний уч-ся:

3. Изучение нового материала.

3.2. Теорема суммы вероятностей.

Часто используется способ решения той или иной задачи «перебором случаев», когда условия задачи разбиваются на взаимоисключающие друг друга случаи, каждый из которых рассматривается отдельно. Например, «направо пойдешь — коня потеряешь, прямо пойдешь — задачу по теории вероят­ности решать будешь, налево пойдешь — ...».

. В каждом из трех случаев «раскрывают» модуль, строят нужные графики ли­нейных функций и затем объединяют соответствующие части этих графиков; фактически речь идет о построении графика кусочной функции. Этот же метод часто используют и при под­счете вероятностей.

Пример.

Из 50 точек 17 закрашены в синий цвет, а 13 — в оранжевый цвет. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется закрашенной.

Решение. Всего закрашено 30 точек из 50. Значит, вероятность равна

30/50 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Рассмотрим, однако, этот простой пример более вниматель­но. Пусть событие А состоит в том, что выбранная точка — синяя, а событие В состоит в том, что выбранная точка — оранжевая (см.рис.).

По условию, события А и В не могут про­изойти одновременно.

Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Ясно, что

N(C) = N(A) + N(B).

Поделим обе части этого равенства на N — число всех воз­можных исходов данного опыта; получим P(C)=P(A)+P(B)

Мы на простом примере разобрали важную и часто встре­чающуюся ситуацию. Для нее есть специальное название.

Определение. События А и В называют несовместными, если они не могут происходить одновременно.

ТЕОРЕМА . Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероят­ностей.

При переводе этой теоремы на математический язык, воз­никает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных со­бытий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А + В.

    Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если А и В несовместны,

то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать ри­сунком. Если все исходы опыта — некоторое множество точек на рисунке, то события А и Б — это некоторые подмножества данного множества. Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой

Типичный пример несовместных событий — любое событие А и противоположное событие.

Разумеется, указанная теорема верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа попарно несовмест­ных событий.

Вероятность суммы любого числа попарно не­совместных событий равна сумме вероятностей этих собы­тий.

Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев» 

        Р(А + В + С + D + ...) =Р(А) + P(B) + P(C) + P(D) + ...

Пример.

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров есть, по крайней мере, 4 белых шара?

Решение. Всего имеется N = С%_{ исходов данного испы­тания. Обозначим буквой С интересующее нас событие. Тогда возможны два случая. Может случиться, что среди 5 выбранных шаров будет ровно 4 белых шара. Обозначим это собы­тие буквой А. А может случиться, что все 5 выбранных ша­ров — белые, а рыжих нет вовсе. Обозначим это событие бук­вой В. Тогда А и В — несовместные события, в сумме дающие событие С. Значит,

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Решение – смотрите документ

Значит, Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,114 + 0,012 = 0,126.

Ответ:0,126.

Пример.

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров есть, по крайней мере, 3 белых шара?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что сре­ди выбранных пяти шаров есть роено 3 белых шара, В — со­бытие, состоящее в том, что белых шаров роено 4, и С — со­бытие, означающее, что все 5 выбранных шаров — белые. Тогда события А, В, С попарно несовместны, а нам требуется найти вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В, или событие С. Вероятности каждого из этих со­бытий в отдельности.нами уже найдены (см.примеры выше). Зна­чит, по теореме 2,

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)  0,324 + 0,114 + + 0,012 = 0,45.

Ответ:  0,45.

Мы видим, что и между событиями, происходящими в ре­зультате некоторого опыта, и между вероятностями этих со­бытий могут быть какие-то соотношения, зависимости, связи и т. п. Например, события можно «складывать», а вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Есть и много других подобных фактов.

3.3. Вероятности противоположных событий.

Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.

Пример.

Из колоды в 36 карт случайным образом од­новременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение. – смотрите документ

А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те ис­ходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в при­мере 4 число N(A). Затем эту разность N — N(A) в соответ­ствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N.

Мы видим, что между вероятностями двух событий имеет­ся определенная связь. Если событие А заключается в отсут­ствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выб­ранных трех карт, то

Р(В) = 1 - Р(А),            Р(А) + Р(В) = 1.

К сожалению, в равенстве Р(А) + Р(В) = 1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.

Определение. Событие В называют противоположным событию А если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

ТЕОРЕМА . Для нахождения вероятности противопо­ложного события следует из единицы вычесть вероят­ность самого события.

4. Закрепление.

Пример.

 Из колоды в 36 карт случайным образом вы­таскивают 5 карт. Какова вероятность того, что среди выбран­ных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти?

Решение. – смотрите документ

Как видим, вероятность довольна высока. Кстати, полез­ное напоминание: без калькулятора вычислить вероятность более или менее сложного события бывает затруднительно.

Ответ: 0,786.

В теории вероятностей используются различные стандарт­ные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку доба­вим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета. Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероят­ность того, что выбранные шары имеют какой-то определен­ный набор цветов.

Пример.

 В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?

Решение. – смотрите документ

Ответ: = 0,324.

5.Итог урока.

6.Дом.задание.

Теория вероятностей. 8 класс

Тема урока: Теорема суммы вероятностей Вероятности противоположных событий

Цель урока: формирование знаний и умений, необходимых для нахождения вероятности событий.

Тип урока: формирование умений и навыков, знаний.

Ход урока.

1. Орг. момент.

Сообщение темы и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний уч-ся:

3. Изучение нового материала.

3.2. Теорема суммы вероятностей.

Часто используется способ решения той или иной задачи «перебором случаев», когда условия задачи разбиваются на взаимоисключающие друг друга случаи, каждый из которых рассматривается отдельно. Например, «направо пойдешь — коня потеряешь, прямо пойдешь — задачу по теории вероят­ности решать будешь, налево пойдешь — ...». Или при пост­роении графика функции

у = рассматрива­ют случаи х -1; -1 . В каждом из трех случаев «раскрывают» модуль, строят нужные графики ли­нейных функций и затем объединяют соответствующие части этих графиков; фактически речь идет о построении графика кусочной функции. Этот же метод часто используют и при под­счете вероятностей.

Пример.

Из 50 точек 17 закрашены в синий цвет, а 13 — в оранжевый цвет. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется закрашенной.

Решение. Всего закрашено 30 точек из 50. Значит, вероятность равна

= 0,6.

Ответ: 0,6.

Рассмотрим, однако, этот простой пример более вниматель­но. Пусть событие А состоит в том, что выбранная точка — синяя, а событие В состоит в том, что выбранная точка — оранжевая (см.рис.).

По условию, события А и В не могут про­изойти одновременно.

Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Ясно, что

N(C) = N(A) + N(B).

Поделим обе части этого равенства на N — число всех воз­можных исходов данного опыта; получим

Мы на простом примере разобрали важную и часто встре­чающуюся ситуацию. Для нее есть специальное название.

Определение. События А и В называют несовместными, если они не могут происходить одновременно.

ТЕОРЕМА . Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероят­ностей.

При переводе этой теоремы на математический язык, воз­никает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных со­бытий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А + В.

Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если А и В несовместны,

то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать ри­сунком. Если все исходы опыта — некоторое множество точек на рисунке, то события А и Б — это некоторые подмножества данного множества. Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой (см.рис.).

Типичный пример несовместных событий — любое событие А и противоположное событие .

Разумеется, указанная теорема верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа попарно несовмест­ных событий.

Вероятность суммы любого числа попарно не­совместных событий равна сумме вероятностей этих собы­тий.

Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев» (см.рис.).

Р(А + В + С + D + ...) =

=Р(А) + P(B) + P(C) + P(D) + ...

Пример.

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров есть, по крайней мере, 4 белых шара?

Решение. Всего имеется N = С%_{ исходов данного испы­тания. Обозначим буквой С интересующее нас событие. Тогда возможны два случая. Может случиться, что среди 5 выбранных шаров будет ровно 4 белых шара. Обозначим это собы­тие буквой А. А может случиться, что все 5 выбранных ша­ров — белые, а рыжих нет вовсе. Обозначим это событие бук­вой В. Тогда А и В — несовместные события, в сумме дающие событие С. Значит,

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность события А считается так:

Так же подсчитывается и вероятность события В:

Значит, Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,114 + 0,012 = 0,126.

Ответ:0,126.

Пример.

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров есть, по крайней мере, 3 белых шара?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что сре­ди выбранных пяти шаров есть роено 3 белых шара, В — со­бытие, состоящее в том, что белых шаров роено 4, и С — со­бытие, означающее, что все 5 выбранных шаров — белые. Тогда события А, В, С попарно несовместны, а нам требуется найти вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В, или событие С. Вероятности каждого из этих со­бытий в отдельности.нами уже найдены (см.примеры выше). Зна­чит, по теореме 2,

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) 0,324 + 0,114 + + 0,012 = 0,45.

Ответ: 0,45.

Мы видим, что и между событиями, происходящими в ре­зультате некоторого опыта, и между вероятностями этих со­бытий могут быть какие-то соотношения, зависимости, связи и т. п. Например, события можно «складывать», а вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Есть и много других подобных фактов.

3.3. Вероятности противоположных событий.

Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.

Пример.

Из колоды в 36 карт случайным образом од­новременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение. У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно получение N = исходов. Будем действо­вать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.

Среди всех N = исходов нам следует сосчитать те, в кото­рых нет пиковой дамы (событие А). Отложим даму пик в сто­рону, и из оставшихся 35 карт будем выбирать 3 карты. По­лучатся все интересующие нас варианты. Значит, N(A) =

Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:

Р(А) =

Ответ: Р(А)=.

А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те ис­ходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в при­мере 4 число N(A). Затем эту разность N — N(A) в соответ­ствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N. Вот что получим:

Мы видим, что между вероятностями двух событий имеет­ся определенная связь. Если событие А заключается в отсут­ствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выб­ранных трех карт, то

Р(В) = 1 - Р(А), Р(А) + Р(В) = 1.

К сожалению, в равенстве Р(А) + Р(В) = 1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.

Определение. Событие В называют противоположным событию А и обозначают В = , если событие В происходит

тогда и только тогда, когда не

происходит событие А.

Символ можно читать

так: «А с чертой». Иллюстрация

этого определения приведена на

рисунке.

ТЕОРЕМА . Для нахождения вероятности противопо­ложного события следует из единицы вычесть вероят­ность самого события: Р() = 1 - Р(А).

В самом деле,

На практике вычисляют то, что проще найти: или Р(А), или Р(). После этого пользуются формулой из теоремы и находят, соответственно, или

Р() = 1 - Р(А), или Р(А) = = 1 - Р().

4. Закрепление.

Пример.

Из колоды в 36 карт случайным образом вы­таскивают 5 карт. Какова вероятность того, что среди выбран­ных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти?

Решение. Из множества в 36 элементов мы производим выбор пяти элементов, причем порядок этих элементов не ва­жен. Значит, возможно получение N= исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. пред­положим, что все эти исходы равновероятны между собой.

Если А — интересующее нас событие, то противоположное ему событие состоит в том, что среди выбранных пяти карт нет ни одной карты бубновой масти. Но это значит, что все 5 карт выбраны из других карточных мастей, т. е. из 36 - 9 = = 27 карт. Значит, N() = и можно легко найти вероят­ность события :

Теперь по теореме находим вероятность самого события А:

Р(А) = 1 - Р() 0,786.

Как видим, вероятность довольна высока. Кстати, полез­ное напоминание: без калькулятора вычислить вероятность более или менее сложного события бывает затруднительно.

Ответ: 0,786.

В теории вероятностей используются различные стандарт­ные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку доба­вим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета. Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероят­ность того, что выбранные шары

имеют какой-то определен­ный набор цветов.

Пример.

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?

Решение. Шары в урне предполагаем неразличимыми, из 21 шара случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не важен. Значит, существует N = способов такого выбора. Считаем все эти способы равнове­роятными.

Интересующее нас событие А наступает, когда 3 из 5 ша­ров — белые, а 2 — рыжие. Из 10 белых шаров, имеющихся в урне, 3 шара можно выбрать способами, а из 11 рыжих шаров 2 шара — , способами. Выбор разноцветных шаров считаем независимым. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(A) =^. , спо­собами. Остается посчитать вероятность.

0,324 (почти одна треть).

Ответ: = 0,324.

5.Итог урока.

6.Дом.задание