Сложная функция (конспект)

Цели урока:

- формирование понятий сложной функции, дифференциала функции;

- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы

- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

Тип урока:комбинированный

Оборудование: карточки, раздаточный материал, мел, доска

Межпредметные связи: физика, геометрия

Ход урока:

1. Организационный момент:

Пингвины

Мы с вами уже говорили, производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. В частности вы будете использовать производную так же в ходе изучения дисциплины «Основы алгоритмизации и программирования» при составлении программ для работы с графикой.

Продолжаем систематизировать и углублять ранее полученные знания и сегодня мы поговорим о сложной функции и ее производной. Кроме этого разберем практические применения дифференциала функции.

2. Опрос, проверка домашнего задания:

Горячий стул.

Что называется производной функции в точке?

Что такое дифференцирование?

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

Какие правила дифференцирования вы знаете?

3) Устная работа...

3. Изучение нового материала.

1. Производная сложной функции.

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln(cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

Как называются такого рода функции?

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Весь материал - в документе.

Урок №61 Дата:

Класс:10

Предмет:алгебра

Тема: Сложная функция

Цели урока:

- формирование понятий сложной функции, дифференциала функции;

- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы

- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

Тип урока:комбинированный

Оборудование: карточки, раздаточный материал, мел, доска

Межпредметные связи: физика, геометрия

Ход урока:

1.Организационный момент:

Пингвины

Мы с вами уже говорили, производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. В частности вы будете использовать производную так же в ходе изучения дисциплины «Основы алгоритмизации и программирования» при составлении программ для работы с графикой. Продолжаем систематизировать и углублять ранее полученные знания и сегодня мы поговорим о сложной функции и ее производной. Кроме этого разберем практические применения дифференциала функции.

2. Опрос, проверка домашнего задания:

Горячий стул

1. Что называется производной функции в точке?

2. Что такое дифференцирование?

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

4. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

3) Устная работа

Пример 1 Найти производную функции .

Решение: .

Пример 2 Найти производную функции .

Решение: .

Пример 3 Найти производную функции .

Решение: .

3. Изучение нового материала

1. Производная сложной функции

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

• Как называются такого рода функции?

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) ) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Внутренняя(промежуточная)

функция

При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

• Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x₀.

При этом

или

,

• А теперь разберем это на примерах (слайды).

Вывод:

1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

3. Функцию читаем в обратном направлении порядку действий;

4. Производную находим по ходу чтения функции.

- Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

- используют при дифференцировании дополненную таблицу производных (учебник И.И. Валуцэ, стр. 215)

2. Дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (*) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (**) следует равенство .

Теперь производную можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Пример1. Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2. Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

Ответ: 0,5

4. Закрепление материала

Работа у доски и в тетради

№ 7.19- 7.31 – производная сложной функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 213)

№ 7.110, 7.112, 7.115 – дифференциал функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

№ 7.120 (1), 7.123 (1), 7.124 (1), 7.125 (1) приближенные вычисления с помощью дифференциала (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

5. Задание на дом

Конспект, § 34

Подведение итогов: рефлексия; выставление оценок за урок