Система счисления

8 класс

Система счисления – это способ наименования и обозначения чисел

система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда)

величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе

Системы счисления

позиционные

непозиционные

римская

десятичная

двоичная

восьмеричная

шестнадцатеричная

и т.д.

египетская

древнегреческая

славянская

Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами

В непозиционных системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.

Недостатки непозиционных систем счисления

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

• Сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения

Древнеегипетская система счисления

Каждая единица изображалась отдельной палочкой

1

10

Такими путами египтяне связывали коров

100

Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

1000

Поднятый палец - будь внимателен

10000

Цветок лотоса

100 000

1 000 000

головастик

Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу

10 000 000

Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число

Древнеегипетская система счисления

=34 5

=1205

=23029

= 12 4 5386

Славянская система счисления

Римская непозиционная СС

(500 лет до н.э.) Используется обозначение веков, номера глав в книгах, циферблат часов

Для записи чисел используются буквы латинского алфавита

Римская непозиционная СС

I

1

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

M

1000

Римская непозиционная СС

–

+

если меньшие цифры стоят справа от большей

XII (10+1+1=12)

если меньшая цифра стоит слева от большей

IX (10-1=9)

не ставят больше трех одинаковых цифр подряд

• не ставят больше трех одинаковых цифр подряд

Примеры:

D X L I I

= 542

X X X I I

= 3 2

9 9 = XCIX

101 = CI

9 7 = XCVII

9 8 = XCVIII

100 = C

102 = CII

Римская непозиционная СС

+ (V-I)

+ (L-X)

(D-C)

4 4 4 =

400 + 40 + 4 =

CD

4 4 4 =

C D X L I V

XL

IV

1 9 7 4

M C M L X X I V =

1000 +

(M-C) = 1000 - 100 = 900 +

50 +

20 +

4

Запишите числа 14, 28, 68,127, 421,689 :

на римском, египетском, языках.

• Основанием системы может быть любое натуральное число, большее единицы;
• Основание ПСС – это количество цифр, используемое для представления чисел;
• Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит;
• Например: 888 : 800; 80; 8
• Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.
• Достоинства позиционных систем счисления
• Простота выполнения арифметических операций.
• Ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел

Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

сотни десятки единицы

разряды

2 1 0

3 7 8

= 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0

8

70

300

Другие позиционные системы:

• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Система счисления

основание

двоичная

цифры

2

восьмеричная

0,1

8

десятичная

0,1,2,3,4,5 , 6,7

10

шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E,F.

• Основание системы – число 10 ;
• Содержит 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;
• Любое десятичное число можно представить в виде суммы степеней числа 10 – основания системы;

• Основание системы – 2 ;
• Содержит 2 цифры: 0; 1 ;
• Любое двоичное число можно представить в виде суммы степеней числа 2 – основания системы;

• Примеры двоичных чисел: 11100101 2 ; 10101 2 ;

• Нужно разделить число на основание системы счисления. Получится остаток от деления и целую часть;
• Разделить целую часть на основание;
• Повторять до сих пор, пока остаток не меньше основания;
• собрать остатки справа налево начиная с « 1 ».

13 10 Х 2

2

13

2

12

6

2

3

1

6

2

2

1

0

1

0

1

Перевод целых чисел

Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2

10  2 перевод из десятичной в двоичную систему

2

19

19 = 10011 2

18

9

2

8

1

4

2

4

система счисления

1

2

2

2

0

1

2

0

0

0

1

Задание № 1

Для десятичных чисел 341; 125; 1024; 4095 выполни перевод в двоичную систему счисления.

проверка

Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы произведений цифр числа на основание (2) в степени, соответствующей месту цифры и найти ее десятичное значение.

Пример:

( а н а н-1 …а 1 а о ) 2 =а н *2 н +а н-1 *2 н-1 +…а 1 *2 1 +а 0 *2 0

Где а -цифры, 2 -это основание, Н -разряд.

Основание - это количество знаков в системе

счисления.

Разряд - место цифр в записи числа. Разряды записываются справа налево.

2  10

4 3 2 1 0

разряды

= 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0

= 16 + 2 + 1 = 19

10011 2

N

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

Двоичные числа 1011001 2 , 11110 2 , 11011011 2 перевести в десятичную систему.

проверка

Перевести в десятичную С с

• 11101010 2
• 100111 2
• 1010 2

Перевести в двоичную Сс

• 127 10
• 342 10
• 4231 10

• Основание системы – 8 ;
• Содержит 8 цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
• Любое восьмеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 8 – основания системы;
• Примеры восьмеричных чисел: 2105 8 ; 73461 8 ;

Восьмеричная система

Основание (количество цифр): 8

Алфавит: 0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7

10  8

100

8

100 = 144 8

96

12

8

8

4

1

8

0

система счисления

4

0

1

8  10

2 1 0

разряды

144 8

= 1 · 8 2 + 4 · 8 1 + 4 · 8 0

= 64 + 32 + 4 = 100

Десятичные числа 421, 5473, 1061 перевести в восьмеричную систему.

проверка

Восьмеричные числа 41, 520, 306 перевести в десятичную систему.

проверка

• 134 8
• 76 8
• 54 10
• 621 10

10

10

8

8

• Основание системы – 16 ;
• Содержит 16 цифр: от 0 до 9; A; B; C; D; E; F;
• Любое шестнадцатеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 16 – основания системы;
• Примеры шестнадцатеричных чисел: 21 AF3 16 ; B09D 16 ;

Шестнадцатеричная система

Основание (количество цифр): 16

Алфавит: 0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

B , 11

C , 12

D , 13

A , 10

F 15

E , 14

1 0  16

10 7

16

96

10 7 = 6B 16

6

16

0

11

0

B

система счисления

6

16  10

C

2 1 0

разряды

= 1 ·16 2 + 12 ·16 1 + 5·16 0

= 256 + 192 + 5 = 453

1 C5 16

Шестнадцатеричные числа B5, A28,CD перевести в десятичную систему.

проверка

Десятичные числа 512, 302, 2045 перевести в шестнадцатеричную систему.

проверка

1)2Е 16

2) 22B 16

3) 17 1 10

4) 206 10

10

10

16

16

• Разделить десятичное число на p . Получится частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньше p .
• Записать остатки в обратном порядке. Полученное число и будет p-i записью исходного десятичного числа.

132 : 8 = 1 6 + 4

1 6 : 8 = 2 + 0

2 : 8 = 0 + 2

335 : 16 = 20 + 15

20 : 16 = 1 + 4

1 : 16 = 0 + 1

(F)

Десятичные числа 421, 5473, 1061 перевести в восьмеричную систему.

проверка

Десятичные числа 512, 302, 2045 перевести в шестнадцатеричную систему.

проверка

• Умножить десятичную дробь на p .
• Целую часть выписать, с дробной продолжить умножение до тех пор, пока она не станет равной 0 или не выделится в период
• Выписать целые части сверху-вниз. Полученное число и будет p-i записью исходного десятичного числа.

0,21 * 8 = 1,68 1

0,68 * 8 = 5,44 5

0,44 * 8 = 3,52 3

0,52 * 8 = 4,16 4

0,35 * 16 = 5,6 5

0,6 * 16 = 9,6 9

0,6 * 16 = 9,6 9

Десятичные числа

0, 51 ; 0,125

перевести в 8 и 16 системы счисления.

проверка

• Для перевода из p-i системы счисления в q-i число надо сначала перевести из p-i системы счисления в 10 систему счисления (развернутая форма числа), а затем из 10СС в q-i (деление целой и умножение дробной части)

123,54 7 → 3СС

123,2 7 = 1*7 2 + 2*7 1 + 3*7 0 +2*7 -1 + = 49+14+3+2\7= 66,29 10

66 : 3 = 22 + 0

22 : 3 = 7 + 1

7 : 3 = 2 + 1

2 : 3 = 0 + 1

0,26 * 3 = 0,78 0

0,78 * 3 = 2,34 2

0,34 * 3 = 1,02 1

0.02 * 3 = 0,06 0

123,2 7 = 111,021 73

Восьмеричные числа 41, 520, 306 перевести в десятичную систему.

проверка

Шестнадцатеричные числа B5, A28,CD перевести в десятичную систему.

проверка

10-ая

2-ая

0

0

1

8-ая

2

16-ая

0

1

3

0010

1

0

1

0011

4

2

2

3

0100

5

3

4

6

0101

4

7

0110

5

5

0111

8

6

6

7

1000

9

10

7

1001

11

8

1010

9

12

1011

13

A

1100

B

1101

14

C

1110

15

D

1111

E

F

Переводы в системах счисления с основанием кратным 2

Разбить двоичное число на триады справа налево (целая часть) и слева направо (дробная часть) от запятой (по три цифры). Заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Двоичные числа 1010 1 1 , 11 2 ; 110011001 , 10 2 перевести в восьмеричную систему

проверка

Разбить двоичное число на тетрады (по четыре цифры) справа налево для целой части и слева-направо для дроби. Заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Двоичные числа 10101111 2 ; 1100110,0111 2 перевести в шестнадцатеричную систему

проверка

Каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим двоичным кодом по три цифры в каждом

Восьмеричные числа 26, 702, 4017 перевести в двоичную систему.

проверка

Каждую шестнадцатеричную цифру заменить двоичным кодом по четыре цифры в каждом

Шестнадцатеричные числа C3 ; B0 , 96 ; E38 перевести в двоичную систему.

проверка