Системы счисления

Цели обучения:

Обучающие:

• Познакомиться с арифметическими основами компьютера;
• Научиться использовать системы счисления для общения с компьютером;
• Научиться переводить целые числа из десятичной системы счисления в любую другую позиционную системы счисления;
• Научиться переводить правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления;
• Научиться переводить числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную;
• Научиться производить арифметическое операции (сложение, умножение)  в двоичной системе счисления.

Воспитательные:

• Воспитывать внимательность, усидчивость, работоспособность;
• Воспитывать организаторские навыки;
• Воспитание и студентов интереса к изучению информатики;
• Воспитание ответственного отношения к учебе;
• Воспитание аккуратности и бережного отношения к вычислительной технике;
• Воспитание самостоятельности;
• Воспитание дисциплинированности;
• Воспитание активности;
• Формирование навыков поведения студентов в коллективном и индивидуальном учебном труде.

Развивающие:

• Развитие памяти и мышления;
• Развитие самостоятельно добывать знания;
• Развитие умения пользоваться полученными знаниями.

Поурочное планирование

1. Лекция (формула разложения чисел, перевод целых чисел делением на основании новой системы, перевод правильных дробей умножением на основание новой системы, поразрядный способ перевода, арифметические действия)

Домашнее задание: выполнить самостоятельную работу по переводу чисел из одной системы в другие, арифметические действия (сложение, умножение) в двоичной системе счисления, контрольные вопросы.

Методы, средства и приемы обучения

При изучении данной темы. В связи с ее особенностями, а именно:

1. содержание большого объема формализованной и специальной литературы
2. небольшого количества учебного времени, отведенного на данную тему
3. большого объема новых знаний

необходимо использовать такую форму урока как лекция и самостоятельная работа студентов по данной теме

             Проведение урока в такой форме дает возможность в сжатые сроки дать большое количество теоретического материала по данной теме, а также готовит студентов к учебе в институте, студентов специальности      для дальнейшего успешного изучения курса Информатики и  спец. Предметов, приучает их к большей самостоятельности, умению конспектировать и применять полученные знания к самостоятельной работе.

Объяснение:

Компьютеры используют двоичную систему счисления потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

Для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток- нет тока, намагничен – не намагничен и т.д.)

Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво

Возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации

Двоичная арифметика намного проще десятичной.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

          Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

          Заданное число, не изменяя его количества, можно записать следующим способом:

А₍₁₀₎ = 3745

А₍₁₀₎ = 3000+700+40+5

А₍₁₀₎ = 3*1000+7*100+4*10+5

А₍₁₀₎ = 3*10³+7*10²+4*10¹+5*10⁰

          Последнюю запись называют разложением числа по степеням основания. Формула разложения показывает, что число в позиционной системе можно представить в виде суммы количественных эквивалентов цифр, которые в свою очередь равны произведению цифры на степень основания, т.е. на вес разряда.

          Целое четырехразрядное число в общем виде по формуле разложения:

А₍₁₀₎ =  а₃ а₂ а₁ а₀ = а₃ * 10 + а₂ * 10 + а₁ * 10 + а₀

               Формула разложения смешанной дроби, имеющей п разрядов в целой части и т разрядов в дробной, в позиционной системе с основанием p запишется так:

А_(р)=а_п-1 … а₁ а_о,  а _–1 а _-2 … а _-т = а_п-1 р^п-1+ … + а₁ р + а₀ + а_-1 р^-1 + а₂ р² … + а _-т р^-т

          Например, перевести А ₍₂₎ = 100 в десятичную систему счисления.

А₍₁₀₎ = 1 * 2² + 0 * 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5

Примеры - смотри архив

Перевод целых чисел делением на основании новой системы.

Алгоритм перевода чисел заключается в следующем. Сначала исходное число, затем получающиеся частные делим на основание новой системы. Действия выполняем в старой системе. Записываем последнее частное и остатки в порядке обратном получения. Полученное число является записью заданного числа в новой системе

Пример-смотри архив

Так как действия выполняются в старой системе, рассматриваемое правило удобно использовать при переводе чисел из десятичной системы

Перевод правильных дробей умножением на основание новой системы.

Алгоритм перевода следующий. Последовательно умножаем сначала исходное число, затем дробные части получаемых произведений на основание новой системы. При этом в целую часть будут выходить цифры записи числа в новой системе. Действия выполняются в старой.

Правило перевода: Точность записи числа в новой системе должна быть не ниже точности числа в старой системе.

Например, если задано число С₍₁₀₎= 0,5, то есть с точностью до 1/10, то запись этого  числа в двоичной системе должна иметь четыре разряда дробной части. Это обеспечит точность до 1/16 (три разряда мало, так как третий разряд имеет вес

1/8 < 1/10). Если же исходное число десятичное задано, например, с точностью до 1/100, то принятое правило требует получения в двоичной системе семи разрядов после запятой (2^-7=1/128), в восьмеричной системе – трех разрядов (8^-3=1/512), в шестнадцатеричной системе – двух разрядов (16^-2=1/256). При вычислениях следует использовать правило округления результатов. Другим ограничение может служить заранее заданное количество разрядов для записи числа в новой системе счисления.

Поразрядный способ перевода

Перевод чисел упрощается, если основание старой  (р) и новой (q) систем связаны соотношением р = q^к или р^к = q, где к – целое число. Это, например, системы восьмимерная и двоичная (k = 3), шестнадцатеричная и двоичная (k = 4), девятеричная и двоичная (k = 3) и т.д.

Поразрядные способы перевода чисел можно использовать для сокращения действий при переводе числа, например. Из десятичной системы в двоичную. Для этого целое число делением (дробное – умножением) сначала переводят  в восьмеричную систему, а затем из восьмеричной системы поразрядно в двоичную.

Если  в качестве промежуточной системы использовать двоичную, то существенно упрощается перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную.

Арифметические действия

Все правила выполнения арифметических действий в любой позиционной системе одинаковы и совпадают,  поэтому с правилами для десятичной системы

Задания

1. Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
2. Переведите данное число в десятичную систему счисления.
3. Сложите числа.
4. Выполните умножение

Примечание: В заданиях 3-4 проверьте правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления.

Контрольные вопросы

1. Какие системы счисления называют позиционные, а какие – непозиционные? Приведите примеры.
2. Что называется основанием системы счисления?
3. Какие способы перевода целых десятичных чисел в двоичные и обратно Вы знаете?
4. Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представление и обратно?

Задание на дом

1. Самостоятельная работа по варианту (вариант выбирается по списку в журнале) - смотри архив.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений.- 3 изд.. М.: Просвещение, 2003.- 416 стр.: ил.
2. Есипов А.С. Информатика. Учебник по базовому курсу общеобразовательных учебных заведений. Изд. 2-е доп. и перераб. СПб: Наука и Техника, 2001г. – 384 с.: ил.
3. Могилев А.В. Практикум по информатике: Учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений/ под ред. Е.К. Хеннера.- М.: Издательский центр «Академия», 2001.-608 с.
4. Методическая газета для учителей информатики «Информатика»