Системы счисления

Основные свойства информации

1. Понятность – этим свойством обладает только та информация, которая выражена в форме, понятной тем, кому она предназначена, в противном случае информация становится бесполезной.
2. Полезность (ценность) – понятие субъективное, т.к. информация, полезная для одного человека, может быть совершенно бесполезной для другого.
3. Достоверность – информация достоверна, если она содержит сведения, отражающие истинное положение дел. Но со временем она может стать недостоверной, т.к. она обладает свойством устаревать, т.е. перестает отражать истинное положение дел.
4. Актуальность – определяется степенью сохранения ценности информации в момент ее использования. Актуальную информацию очень важно иметь при работе в изменяющихся условиях, т.к. в таком случае только вовремя полученная информация может принести пользу (примером может служить прогноз погоды).
5. Полнота и точность – содержит минимальный, но достаточный для принятия правильного решения состав. Нарушение полноты информации сдерживает принятие решений и может повлечь ошибки.

Человек через свои органы чувств видит, слышит, осязает, чувствует запахи, ощущает вкус, т.е. принимает информацию. Принимаемую человеком информацию можно разделить на образную и знаковую.

Образная информация – это вкусовые, обонятельные, осязательные ощущения, живопись.

Знаковая информация – это информация, получаемая в речевой или письменной форме. Звуки речи так же, как и письменность представляются буквами, сочетаниями букв, паузы и интонации – знаками препинания. Т.е. передача информации от человека к человеку происходит путем передачи звуков или в знаковой форме.

Знаковую форму общения называют языком общения. Языки общения делятся на естественные и искусственные.

К естественным языкам общения относятся языки, на которых непосредственно говорят люди, например, русский, казахский, немецкий и т.д.

К искусственным языкам (формальные) относятся язык математики, физики, музыки, язык общения с компьютером.

Каждый язык имеет свой алфавит, т.е. набор символов, которыми представлены знаки этого языка. Например, в русском языке алфавит состоит из 33 символов, язык телеграфных сообщений – из двух (точки и тире).

Алфавитов, представляющих числа, также много: двоичный, восьмеричный, десятичный, шестнадцатеричный, где в названии алфавита отображается количество символов в данной системе. Например, в двоичной системе числа отображаются двумя символами – 0 и 1.

Системы счисления

Представление информации посредством какого-либо алфавита называется кодированием.

Кодом  называется правило преобразования одного набора знаков в другой.

Процесс кодирования (шифрование)  информации непосредственно связан с процессом декодирования (расшифровки) информации.

Например, при передаче информации с помощью старинного телеграфа была использована азбука Морзе: источник мог замыкать и размыкать контакт. При замыкании контакта у получателя на бумаге изображалась линия, длина которой зависела от длительности замыкания контакта, соответственно получались точки или тире.

Передача информации – это есть передача сигналов, которые могут быть разного происхождения: электрические, световые, графические, механические и т.д. информация в сигнале закодирована в параметрах, представляющих его физический процесс.

В вычислительной технике информация записывается в двоичном алфавите (0 и 1). Любое число несет какое-то количество информации о соответствующей ему величине.

Количество информации, которую несет одноразрядное двоичное число, в информатике называют бит.

Бит – минимальная единица количества информации.

Например, двоичные числа 01 и 10101 несут соответственно 2 и 5 бит информации.

Еще одна единица количества информации – это байт.

1 байт = 8 бит, каждый из которых может принимать два значения: 0 или 1. Таким образом, байт может принимать 2⁸ = 256 различных значений, а  состоящее из 16 битов машинное слово может принимать 2¹⁶ = 65536 различных значений.

Любое запоминающее устройство современной ЭВМ состоит из ячеек, в каждой из которых можно записать не более чем 8-разрядное двоичное число, т.е. не более 1 байта информации. В ЭВМ используются ячейки, содержащие тысячи байт. При размещении текста в ячейке каждый его символ (буква, цифра, точка, пробел и др.) занимает 1 байт.

Таким образом, байт – основная единица объема памяти ЭВМ.

Для удобства введены наиболее крупные единицы измерения количества информации:

1 Кбайт = 1024 байта                         1 Мбайт = 1024 Кб                    1 Гбайт = 1024 Мбайт

Система счисления – совокупность приемов для представления и записи чисел с помощью определенного количества знаков (цифр): позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа  не зависит от занимаемой ею позиции. Например, римская система: в числе ХХХ, цифра Х в любой позиции означает 10.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места в последовательности цифр, изображающих число.

Основанием позиционной системы счисления называется число используемых цифр в системе. Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

К позиционным системам счисления относятся десятичная (с основанием 10), двоичная (с основанием 2), восьмеричная (с основанием 8) и шестнадцатеричная (с основанием 16) системы счисления.

В десятичной системе счисления десятичное число можно записать в виде суммы степеней основания.

Например,

524 = 5*10² + 2*10¹ + 4*10⁰,

Здесь 10 – основание системы счисления,

             0 – степень основания для единиц,

             1 – степень основания для десятков,

             2 – степень основания для сотен.

856,25 = 8*10² + 5*10¹ + 6*10⁰ + 2*10^-1 + 5*10^-2,

Здесь   -1, -2 – степень дробной части числа.

В двоичной системе счисления каждое двоичное число также можно представить в виде суммы степеней основания. В этой сумме в качестве основания используется число 2.

Например,

1101,101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 = 13,625₁₀

Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 13,625.

Правило перевода: чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами – цифрами и найти эту сумму.

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления можно представить в виде таблицы соответствий.

Перевод  чисел  из  одной  системы  счисления  в  другую

1. Перевод целых десятичных чисел в двоичную СС.

!!!Правило перевода: чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число делить на 2 до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего!!!

Пример. 19₁₀  перевести из 10-ной в 2-ную систему счисления.

19:2=9 – остаток 1

9:2=4 – остаток 1

4:2=2 – остаток 0

2:2=1 – остаток 0

1:2=0 – остаток 1 (старшая цифра двоичного числа).

Итак,

  19₁₀ = 10011₂

2. Перевод десятичных дробей в двоичную СС.

Правило перевода: чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2 и т.д.

Пример.  Перевести 0,625₁₀ в двоичную СС.

0,625 * 2 = 1,250 – целая часть 1

0,250 * 2 = 0,500 – целая часть 0

0,500 * 2 = 1,000 – целая часть 1

Так как дробная часть последнего произведения равна нулю, то перевод закончен. Итак,  0,625₁₀ = 0,101₂

При переводе конечной десятичной дроби в двоичную может получиться периодическая дробь.

Пример. Перевести десятичную дробь 0,3 в двоичную СС.

0,3 * 2 = 0,6 – целая часть 0

0,6 * 2 = 1,2 – целая часть 1

0,2 * 2 = 0,4 – целая часть 0

0,4 * 2 = 0,8 – целая часть 0

0,8 * 2 = 1,6 – целая часть 1

0,6 * 2 = 1,2 – целая часть 1 и т.д.

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе число 0,3 представляется периодической дробью: 0,3₁₀ = 0,0(1001)₂.

3. Перевод десятичных чисел в восьмеричную СС.

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Пример. Перевести 891₁₀ в 8-ную СС.

891 : 8 = 111, остаток 3

111 : 8 =  13, остаток 7

13 : 8 = 1, остаток 5

1 : 8 = 0, остаток 1 (старшая цифра восьмеричного числа)

Итак: 891₁₀ = 1573₈.

Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричную СС.

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную СС.

Для записи любой цифры восьмеричного числа необходимы три двоичные цифры. Поэтому двоичное число разделяют справа налево на группы по три двоичные цифры. Затем каждую группу двоичных цифр выражают в виде восьмеричной цифры.

001 001 111 101 011₂ = 11753₈     011 101 100 110₂ = 3546₈

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную СС.

Аналогично преобразуют двоичное число в 16-ное с той лишь разницей, что преобразуемое двоичное число делят на группы по четыре двоичных цифры в каждой.

0001 0011 1110 1011₂ = 13ЕВ₁₆   0111 0110 0110₂ = 755₁₆

Перевод чисел из 8-ной и 16-ной СС в двоичную.

Преобразование осуществляется простым переводом каждой цифры исходного числа в группу из трех или четырех двоичных цифр.

Пример.

123₈ = 001 010 011 = 1010011₂ (если после перевода целая часть начинается с нулей, то их отбрасывают, то же самое делают с нулями в конце дробной части).

Арифметические  действия  над  двоичными  числами

Выполняются по тем же правилам, как и в 10-ной системе, с той лишь разницей, что основание СС равно двум и используются две цифры.

Операция сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 происходит перенос единицы в соседний (старший) разряд.

Операция вычитания

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1 занимаем единицу в соседнем (старшем) разряде

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

Упражнения

1. Представить число 1100101 в виде многочлена (разложить по степеням с основанием 2).
2. Проверить равенства:
   1. 111₂=7₁₀
   2. 10110₂=22₁₀
   3. 1010101₂=85₁₀
3. Перевести день и год своего рождения из десятичной системы в двоичную и обратно.
4. 105₂=?₂

5

Основные свойства информации

1. Понятность – этим свойством обладает только та информация, которая выражена в форме, понятной тем, кому она предназначена, в противном случае информация становится бесполезной.

2. Полезность (ценность) – понятие субъективное, т.к. информация, полезная для одного человека, может быть совершенно бесполезной для другого.

3. Достоверность – информация достоверна, если она содержит сведения, отражающие истинное положение дел. Но со временем она может стать недостоверной, т.к. она обладает свойством устаревать, т.е. перестает отражать истинное положение дел.

4. Актуальность – определяется степенью сохранения ценности информации в момент ее использования. Актуальную информацию очень важно иметь при работе в изменяющихся условиях, т.к. в таком случае только вовремя полученная информация может принести пользу (примером может служить прогноз погоды).

5. Полнота и точность – содержит минимальный, но достаточный для принятия правильного решения состав. Нарушение полноты информации сдерживает принятие решений и может повлечь ошибки.

Человек через свои органы чувств видит, слышит, осязает, чувствует запахи, ощущает вкус, т.е. принимает информацию. Принимаемую человеком информацию можно разделить на образную и знаковую.

Образная информация – это вкусовые, обонятельные, осязательные ощущения, живопись.

Знаковая информация – это информация, получаемая в речевой или письменной форме. Звуки речи так же, как и письменность представляются буквами, сочетаниями букв, паузы и интонации – знаками препинания. Т.е. передача информации от человека к человеку происходит путем передачи звуков или в знаковой форме.

Знаковую форму общения называют языком общения. Языки общения делятся на естественные и искусственные.

К естественным языкам общения относятся языки, на которых непосредственно говорят люди, например, русский, казахский, немецкий и т.д.

К искусственным языкам (формальные) относятся язык математики, физики, музыки, язык общения с компьютером.

Каждый язык имеет свой алфавит, т.е. набор символов, которыми представлены знаки этого языка. Например, в русском языке алфавит состоит из 33 символов, язык телеграфных сообщений – из двух (точки и тире).

Алфавитов, представляющих числа, также много: двоичный, восьмеричный, десятичный, шестнадцатеричный, где в названии алфавита отображается количество символов в данной системе. Например, в двоичной системе числа отображаются двумя символами – 0 и 1.

Системы счисления

Представление информации посредством какого-либо алфавита называется кодированием.

Кодом называется правило преобразования одного набора знаков в другой.

Процесс кодирования (шифрование) информации непосредственно связан с процессом декодирования (расшифровки) информации.

Например, при передаче информации с помощью старинного телеграфа была использована азбука Морзе: источник мог замыкать и размыкать контакт. При замыкании контакта у получателя на бумаге изображалась линия, длина которой зависела от длительности замыкания контакта, соответственно получались точки или тире.

Передача информации – это есть передача сигналов, которые могут быть разного происхождения: электрические, световые, графические, механические и т.д. информация в сигнале закодирована в параметрах, представляющих его физический процесс.

В вычислительной технике информация записывается в двоичном алфавите (0 и 1). Любое число несет какое-то количество информации о соответствующей ему величине.

Количество информации, которую несет одноразрядное двоичное число, в информатике называют бит.

Бит – минимальная единица количества информации.

Например, двоичные числа 01 и 10101 несут соответственно 2 и 5 бит информации.

Еще одна единица количества информации – это байт.

1 байт = 8 бит, каждый из которых может принимать два значения: 0 или 1. Таким образом, байт может принимать 2⁸ = 256 различных значений, а состоящее из 16 битов машинное слово может принимать 2¹⁶ = 65536 различных значений.

Любое запоминающее устройство современной ЭВМ состоит из ячеек, в каждой из которых можно записать не более чем 8-разрядное двоичное число, т.е. не более 1 байта информации. В ЭВМ используются ячейки, содержащие тысячи байт. При размещении текста в ячейке каждый его символ (буква, цифра, точка, пробел и др.) занимает 1 байт.

Таким образом, байт – основная единица объема памяти ЭВМ.

Для удобства введены наиболее крупные единицы измерения количества информации:

1 Кбайт = 1024 байта 1 Мбайт = 1024 Кб 1 Гбайт = 1024 Мбайт

Система счисления – совокупность приемов для представления и записи чисел с помощью определенного количества знаков (цифр): позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции. Например, римская система: в числе ХХХ, цифра Х в любой позиции означает 10.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места в последовательности цифр, изображающих число.

Основанием позиционной системы счисления называется число используемых цифр в системе. Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

К позиционным системам счисления относятся десятичная (с основанием 10), двоичная (с основанием 2), восьмеричная (с основанием 8) и шестнадцатеричная (с основанием 16) системы счисления.

В десятичной системе счисления десятичное число можно записать в виде суммы степеней основания.

Например,

524 = 5*10² + 2*10¹ + 4*10⁰,

Здесь 10 – основание системы счисления,

0 – степень основания для единиц,

1 – степень основания для десятков,

2 – степень основания для сотен.

856,25 = 8*10² + 5*10¹ + 6*10⁰ + 2*10^-1 + 5*10^-2,

Здесь -1, -2 – степень дробной части числа.

В двоичной системе счисления каждое двоичное число также можно представить в виде суммы степеней основания. В этой сумме в качестве основания используется число 2.

Например,

1101,101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 = 13,625₁₀

Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 13,625.

Правило перевода: чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами – цифрами и найти эту сумму.

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления можно представить в виде таблицы соответствий.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Перевод целых десятичных чисел в двоичную СС.

!!!Правило перевода: чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число делить на 2 до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего!!!

Пример. 19₁₀ перевести из 10-ной в 2-ную систему счисления.

19:2=9 – остаток 1

9:2=4 – остаток 1

4:2=2 – остаток 0

2:2=1 – остаток 0

1:2=0 – остаток 1 (старшая цифра двоичного числа).

Итак,

19₁₀ = 10011₂

1. Перевод десятичных дробей в двоичную СС.

Правило перевода: чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2 и т.д.

Пример. Перевести 0,625₁₀ в двоичную СС.

0,625 * 2 = 1,250 – целая часть 1

0,250 * 2 = 0,500 – целая часть 0

0,500 * 2 = 1,000 – целая часть 1

Так как дробная часть последнего произведения равна нулю, то перевод закончен. Итак, 0,625₁₀ = 0,101₂

При переводе конечной десятичной дроби в двоичную может получиться периодическая дробь.

Пример. Перевести десятичную дробь 0,3 в двоичную СС.

0,3 * 2 = 0,6 – целая часть 0

0,6 * 2 = 1,2 – целая часть 1

0,2 * 2 = 0,4 – целая часть 0

0,4 * 2 = 0,8 – целая часть 0

0,8 * 2 = 1,6 – целая часть 1

0,6 * 2 = 1,2 – целая часть 1 и т.д.

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе число 0,3 представляется периодической дробью: 0,3₁₀ = 0,0(1001)₂.

1. Перевод десятичных чисел в восьмеричную СС.

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Пример. Перевести 891₁₀ в 8-ную СС.

891 : 8 = 111, остаток 3

111 : 8 = 13, остаток 7

13 : 8 = 1, остаток 5

1 : 8 = 0, остаток 1 (старшая цифра восьмеричного числа)

Итак: 891₁₀ = 1573₈.

1. Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричную СС.

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

1. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную СС.

Для записи любой цифры восьмеричного числа необходимы три двоичные цифры. Поэтому двоичное число разделяют справа налево на группы по три двоичные цифры. Затем каждую группу двоичных цифр выражают в виде восьмеричной цифры.

001 001 111 101 011₂ = 11753₈ 011 101 100 110₂ = 3546₈

1. Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную СС.

Аналогично преобразуют двоичное число в 16-ное с той лишь разницей, что преобразуемое двоичное число делят на группы по четыре двоичных цифры в каждой.

0001 0011 1110 1011₂ = 13ЕВ₁₆ 0111 0110 0110₂ = 755₁₆

1. Перевод чисел из 8-ной и 16-ной СС в двоичную.

Преобразование осуществляется простым переводом каждой цифры исходного числа в группу из трех или четырех двоичных цифр.

Пример.

123₈ = 001 010 011 = 1010011₂ (если после перевода целая часть начинается с нулей, то их отбрасывают, то же самое делают с нулями в конце дробной части).

Арифметические действия над двоичными числами

Выполняются по тем же правилам, как и в 10-ной системе, с той лишь разницей, что основание СС равно двум и используются две цифры.

1. Операция сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 происходит перенос единицы в соседний (старший) разряд.

1. Операция вычитания

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1 занимаем единицу в соседнем (старшем) разряде

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

Упражнения

1. Представить число 1100101 в виде многочлена (разложить по степеням с основанием 2).

2. Проверить равенства:

   1. 111₂=7₁₀

   2. 10110₂=22₁₀

   3. 1010101₂=85₁₀

3. Перевести день и год своего рождения из десятичной системы в двоичную и обратно.

4. 105₂=?₂