Сборник заданий

Сборник заданий по теме

«Степени и корни»

Оглавление

1. Аннотация

2. Теоретический материал

3. Упражнения по теме « Степени и корни»

Аннотация

В данной разработке предложен материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.

Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.

Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются при подготовке к итоговой государственной аттестации.

Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок.

Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.

Основные определения и теоремы.

Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.

Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 4^1,5. Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения различных операций со степенями.

Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а^1/n, где а0.

Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.

Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.

Обобщение понятия степени аⁿ, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=a^x) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xⁿ) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x

Теоретический материал

Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число а^п называется степенью,

число а – основанием степени, число п – показателем степени.

По определению полагают: а¹ = а,

а⁰ = 1,

а^-п = , п R

Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и п 2, то = .

Свойства степени. Если а и в – положительные числа, х и у – любые действительные числа, то справедливы

следующие свойства: а^х а^у = а ^{х + у},

а^х : а^у = а ^{х - у},

(а ^х) ^у = а ^{х у},

а^х в ^х = (а в) ^х,

= ( )^х.

Пусть п – натуральное число, отличное от единицы, а – неотрицательное число.

Арифметическим корнем п –й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п – я степень которого равна а.

Для арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а используется обозначение . Если п=2, пишут . По определению

( )^п = а.

Для любых, в том числе отрицательных, значений, а справедлива формула = /а/, в частности,

= /а/ и ² = /а – в/.

Свойства арифметического корня.

Если а и в – неотрицательные числа, п и к – натуральные числа, отличные

от единицы, т –целое число, то имеют место следующие соотношения:

= ( ),

= ,

= , b неравно 0,

= ,

= ,

: = .

Степень с дробным показателем.

Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и

п 2, то = = ( ^m.

Управжнения.

Вычислить:

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) , если , ;

4) ; 8) , если , .

Упростить:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Решить графически уравнения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Извлечь арифметический корень:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Вычислите степени с рациональным показателем:

Вычислите:

, , , , ,

2 - + , ,

1,7⁰+ 3²:3^-1 – 25^1/2 , 16^3/4 – 7^1,7:7^-0,3 + 43⁰,

- 0,4³ 0,4^-2 5² +16^0,5, ( )² 1,4 + 125^1/3 – ( )^-1,

81^1/4 9^-1/2 + 13,4⁰ –(5²)^-1 , 64^1/3:9^0,5 – 3^5,2 3^{- 6,2} +5,2⁰,

(64^1/3 27^2/3 243^2/5 128 ^3/7 )^1/

(6^2,5 36 ^-1)⁴ - ( 5^1/4 25^3/8) ^{sin П/ 2}.

Найдите значение выражения:

, + - - , 0,3 -0,1, + , , : , , .

Найдите значение выражения:

, при п = 8,

4^6Р 4 ^-4Р , при р = ,

- , при х = 7,

, при х =16,

+ , при р = 49,

- , при р =16, q = 9,

+ , при х = 16, у = 25,

- , при х = 9, у = 49,

+ , при а = 625, в = 16,

- 2 , при а = 9, в =16.

Решить иррациональные уравнения и системы иррациональных уравнений

Решите уравнения:

1) =6; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6)

Решить систему уравнений.

Задания по решению уравнений:

7^5х+6 = 49, ( )^{0,5х – 1} = 4, ( )^{1 – 3х} = 9,

2^-х = ( )^1-х, 3^х = ( )^{1 + х}, 10^-х = ,

3^{х2 -5х+1} = 81, = 0,125 ^х-7 , 5^3х-1 2^3х-1 = 0,1 ,

2 ^х+2 – 2 ^х = 96, 5 7 ^х-1 + 4 3 ^х + 3 ^х+1 - 2 7 ^х = 0, 4 ^х - 10 2 ^х-1 = 24,

9 ^х – 3 ^х-1 = 6, 4 ^х + 3 6 ^х – 4 9 ^х = 0, 2 ^х-1 + 2 ^–х-1 = 1.

Задания по решению неравенств:

16 2 ^х+3, 2 ^5х+7 8 ^х, 2 ^х - ,

5 ^х , 2 4 ^х+1 2 ^{–х -1} , 3 9 ^х+1 3 ^{– х – 1}

9 ^х - 9 3 ^–х 0, 7 ^х - 7 7 ^{– х -2} 0, ( ) ^х - 8 2 ^{– х} 0,

^х+1, ( ) ^{х+2+4/ х} , 2 ^х+1 + 3 2 ^х 10,

9 ^х – 3 ^х+1 4, 2 ^х – 2 ^1-х 1, 9 ^х - 5 6^х - 6 4 ^х 0.