Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

10 класс геометрия

Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Урок 1

Учитель : Олейникова И.В.

C

Вспомним!

B

А 1 .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

A

a

B

А 2 .

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

A

А 3 .

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

a

2

Вспомним!

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Q

P

М

a

3

Вспомним!

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна

b

N

М

a

3

Закрепление изученного материала.

Задача

Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые,

не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые,

лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые,

проходящие через точку М?

Решение

l ₂

n

Пусть l ₁ ∩ l₂ = M

А

n – произвольная прямая

M

M  n,

n - пересекает l ₁ и l₂ в точках А и К,

Значит через точку А и прямую l₂

можно провести единственную

плоскость (по теореме).

l ₁

№ 7. А. С. Атанасян

К

т

Поэтому отрезки АМ, АК и КМ лежат в одной плоскости (по аксиоме А ₂) и прямые , которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.

Все прямые, проходящие через М не лежат в одной плоскости.

Например, прямая т.

3

5

Закрепление изученного материала.

Задача

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них

проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

а

c

1 случай

O

b

№ 14. А. С. Атанасян

Все прямые a, b, c - лежат в одной плоскости.

В этом случае (по следствию 2) можно провести плоскости, и через три прямые проходит одна плоскость.

5

6

2 случай

Одна из трех прямых (с) не лежит в плоскости  , определяемой другими прямыми a и b.

В этом случае через заданные три прямые проходят три

различные плоскости, определяемые парами прямых :

а

a и b

a и c

O

b и c

b

№ 14. А. С. Атанасян

с

Ответ:

или три или одну плоскость

6

7

Закрепление изученного материала.

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника,

если она: а) пересекает две стороны треугольника;

б) проходит через одну из вершин треугольника?

l

B

М

Решение

С

A

N

№ 14. А. С. Атанасян

a) Если MN пересекает стороны ∆АВС, а ∆АВС   , то М   и N   .

Из аксиомы А ₂ прямая М N   .

б) Если l пересекает  в точке В, то не обязательно будет лежать в ней.

Ответ: а) да; б) нет.

7

8