Решение текстовых задач по вариантам ЕГЭ

ПЛАН

УРОКА МАТЕМАТИКИ В 11 КЛАССЕ

( 45 минут )

Тема урока: Решение текстовых задач по вариантам ЕГЭ.

Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Цели урока:

обучающая: научить применять ранее полученные знания при решении текстовых задач в выполнении заданий ЕГЭ разного уровня сложности, стимулировать обучающихся к овладению рациональными приёмами и методами решения текстовых задач;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Ход урока:

Приложение 1. (домашняя работа)

Задача № 1. Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, и встречаются через 2 ч. Определите скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них она на 3 км/ч больше, чем у другого.

Задача № 2. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Задача № 3. Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 30 метров больше его ширины. При утверждении плана застройки выяснилось, что граница участка проходит по территории водоохраной зоны, поэтому его ширину уменьшили на 20 метров. Найдите длину участка, если после утверждения плана застройки площадь участка составила 2400 м².

На экране решение задачи № 1.

Устные рассуждения:

Одним из основных условий задачи является одновременное отправление велосипедистов из пунктов, значит, каждый из них находился в пути одно и то же время, т.е. 2 часа. Далее, даётся некая зависимость между скоростями велосипедистов, поэтому меньшую скорость, пусть это будет скорость первого велосипедиста, обозначим км/ч, тогда скорость второго будет км/ч. По условию задачи велосипедисты встретились через 2 часа после отправления. Зная время движения и скорости велосипедистов, можно найти путь каждого из них. Таким образом, первый велосипедист за 2 часа проехал путь км, а второй за те же 2 часа – км. По условию задачи через 2 часа велосипедисты встретились, т.е. проехали весь путь 54 км.

Запись в тетради:

Обозначим скорость первого велосипедиста км/ч, тогда скорость второго будет км/ч.

По условию задачи каждый велосипедист находился в пути 2 часа, значит, первый велосипедист проехал путь км, а второй – км. По условию задачи через 2 часа велосипедисты встретились, т.е. проехали весь путь 54 км. Следовательно, уравнение составляем по проделанному пути обоими велосипедистами: .

Решение:

,

,

4х = 48,

х = 12

Получили: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а второго – 15 км/ч.

Ответ: 12 км/ч; 15 км/ч.

Оставшиеся две задачи разбирают устно.

Приложение 2. (актуализация темы)

Ребята, давайте вспомним, какие типы текстовых задач мы рассматривали и какие основные величины характеризуют тот или иной тип задачи. И так:

1. Задачи на движение:

а) движение навстречу друг другу, движение в одном направлении, движение в противоположных направлениях;

б) движение по воде: по течению реки, против течения реки, в озере,

основные величины, характеризующие движение – скорость, время, расстояние.

1. Задачи на совершение работы, основные величины – время, объём совершённой работы, производительность труда, где объём совершённой работы принимается за 100% или 1.

2. Задачи на проценты:

а) товар и его стоимость, где первоначальная стоимость принимается за 100% или 1, повышение или понижение стоимости рассматривается как нахождение части от числа в сторону увеличения или уменьшения числа;

б) суммы вкладов в банки и банковские процентные ставки, где первоначальный вклад принимается за 100% или 1, увеличение вклада рассматривается как нахождение части от числа дополнительно к основной сумме;

в) процентное содержание кислоты в растворе и др.

Приложение 3. (индивидуальная работа по группам)

1 группа: задания В1

1. Один килограмм огурцов стоит 15 рублей. Мама купила 2 кг 400 г огурцов. Сколько сдачи она должна получить со 100 рублей?

1. Андрей Петрович купил автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 42 мили в час? Ответ округлить до целых

3.1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 60 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 32544 киловатт-часа, а 1 декабря 32726 киловатт-часов. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь? Ответ дать в рублях

4.Пакет сока стоит 32 рубля. Какое наибольшее количество пакетов сока можно купить на 200 рублей?

5.Рубашка стоит 450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит рубашка во время распродажи?

6.Клиент взял в банке кредит на сумму 30000 рублей с годовой процентной ставкой 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

2 группа: задание В5

1.Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)?

2.Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана. Пользователь предполагает. Что его трафик составит 650 Мб в месяц и, исходя из этого выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

3.Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно – на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 830 рублей. Автомобиль расходует 10 литров бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700км, а цена бензина равна 19 руб. за литр. Какая поездка (поездом или машиной) обойдется дешевле? В ответ напишите, сколько рублей она будет стоить

4.Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На схеме указаны расстояния между пунктами в километрах.

Все три автомобиля выехали одновременно из А. Какой автомобиль добрался в D позже других? В ответе указать, сколько часов он находился в дороге

3 группа: Задание В13

1.Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого ему навстречу из города В выехал второй автомобиль со скоростью 65 км/ч. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? (ответ дать в километрах)

2.Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого пешехода на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 м?

3.Теплоход, собственная скорость которого равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается обратно в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 ч, в исходный пункт теплоход возвращается через 30 ч после отплытия от него. Сколько километров прошел теплоход за вест рейс?

4.Маша и Даша могут за день прополоть 3 грядки, Даша и Глаша – 4 грядки, а Глаша и Маша – 5 грядок. Сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?

5.Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 4 ч. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на 6 ч меньше, чем второй бригаде?

8.Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограмм винограда потребуется для получения 21 кг изюма.

Приложение 4.(решение текстовых задач)

Задача № 1. Цена первого товара повысилась на 30%, а потом еще на 5%. Цена второго товара повысилась на 25%. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов первоначальная цена одного товара больше первоначальной цены другого товара.

Устные рассуждения:

Всякую математическую модель можно рассматривать с трёх позиций, в данном случае – товар: в рублях, в процентах, в частях. Пусть первоначальная цена первого товара будет х руб, т.е. 100% или 1. Тогда первое повышение цены на 30% в денежном выражении составляет 0,3 х руб., а новая цена будет составлять 130% или 1,3х руб. Второе повышение на 5% в денежном выражении составляет 1,3х 0,05 = 0,065х руб., значит последняя цена будет состоять из суммы предыдущей плюс 5%, т.е. 1,3х + 0,065х = 1,365х руб.

Аналогично, пусть первоначальная цена второго товара будет у руб, т.е. 100% или 1. Тогда первое повышение цены на 25% в денежном выражении составляет 0,25у руб., а новая цена будет составлять 125% или 1,25у руб. По условию после повышения цены товаров сравнялись, т.е.1,365х = 1,25у, откуда у = 1,092х. Найдём разницу цен в частях: у – х = 1,092 – 1 = 0,092.

Запись в тетрадях:

Пусть первоначальная цена первого товара будет х руб, т.е. 100% или 1. Тогда первое повышение цены на 30% в денежном выражении составляет 0,3 х руб., а новая цена будет составлять 130% или 1,3х руб. Второе повышение на 5% в денежном выражении составляет

1,3х0,05 = 0,065х руб., значит последняя цена будет состоять из суммы предыдущей плюс 5%, т.е. 1,3х + 0,065х = 1,365х руб.

Аналогично, пусть первоначальная цена второго товара будет у руб, т.е. 100% или 1. Тогда первое повышение цены на 25% в денежном выражении равно 0,25у руб., а новая цена будет составлять 125% или 1,25у рублей. По условию после повышения цены товаров сравнялись, т.е.1,365х = 1,25у, откуда у = 1,092х. Найдём разницу цен в частях: у – х = 1,092 – 1 = 0,092.

Переведём полученную дробь в проценты: %.

Ответ :разница первоначальных цен товаров составляет 9,2%.

Задача № 2. Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Устные рассуждения:

Пусть первоначальная сумма взноса будет х руб., т.е. 100% или1. По условию задачи через год сумма вклада увеличилась на 3%, что в денежном выражении составляет 0,03х руб. Значит, через год сумма вклада будет равна 1,03х руб. Ещё через год сумма вклада снова увеличилась на 3% годовых, в денежном выражении это увеличение составляет 1,03х0,03 = 0,0309х (руб.). А общая сумма вклада за два года будет состоять из предыдущей суммы вклада плюс 3% годовых, т.е.1,03х + 0,0309х = 1,0609х (руб.). По условию задачи за два года сумма вклада увеличилась на 304,5 руб. Уравнение данной задачи представляет собой разницу вкладов.

Запись в тетрадях:

Пусть первоначальная сумма взноса будет х руб., т.е. 100% или1. Через год сумма вклада увеличилась на 3% годовых, значит, через год сумма вклада будет составлять 1,03х руб. Ещё через год сумма вклада снова увеличилась на 3% годовых, в денежном выражении это увеличение составляет 1,03х0,03 = 0,0309х (руб.). Значит, за два года сумма вклада будет составлять 1,03х + 0,0309х = 1,0609х (руб.). По условию задачи за два года сумма вклада увеличилась на 304,5 руб., т.е.:

1,0609х – х = 304,5 ,

0,0609х = 304,5 ,

х = 304,5:0,0609 ,

х = 5000. Получили первоначальную сумму вклада 5000 руб.

Ответ: 5000 рублей.

Задача № 3. Найдите двузначное число, если частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 4, а частное от деления произведения его цифр на сумму цифр равно 2.

Устные рассуждения:

Обозначим двузначное число через , тогда = , где – это число десятков, – число единиц. По условию частное от деления самого числа на сумму его цифр равно 4, т.е. , а частное от деления произведения его цифр на сумму цифр равно 2, т.е. . Поскольку имеем две переменных и два уравнения, будем решать систему двух уравнений с двумя переменными.

Запись в тетрадях:

Обозначим двузначное число через , тогда = , где – это число десятков, – число единиц. По условию частное от деления самого числа на сумму его цифр равно 4, т.е. , а частное от деления произведения его цифр на сумму цифр равно 2, т.е. . Составим систему двух уравнений с двумя переменными:

или

Первая пара (0;0) не является решением, так как двузначное число существует. Значит, решением системы является пара (3;6), т.е. двузначное число равно 36.

Ответ: 36.

Задача № 4. Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

Устные рассуждения:

Поскольку речь идёт о двух растворах разной концентрации, значит надо вводить две переменные. Семидесяти процентный раствор состоит из 70% кислоты и 30% воды, а шестидесяти процентный раствор состоит из 60% кислоты и 40% воды. Если первоначальную массу 70%-го раствора обозначить за х кг, значит в нём кислоты будет 0,7х кг, а воды будет 0,3х кг. Аналогично, если первоначальную массу 60%-го раствора обозначить за у кг, значит, в нём кислоты будет 0,6у кг, а воды будет 0,4у кг. После добавления 2 кг чистой воды, концентрация раствора стала равной 50%. Это означает, что в новом растворе масса воды будет 0,5(х + у +2) кг. Поскольку дополнительным условием задачи является добавление чистой воды, значит, уравнение составляем по массе воды. И так, первоначальная масса воды растворов была 0,3х кг и 0,4у кг, затем ещё добавили 2 кг воды, в итоге получили 0,5(х + у + 2) кг воды. Аналогично разбирается второй случай, когда к имеющимся растворам кислоты добавляют 2 кг 90%-го раствора той же кислоты и получается 70%-й раствор кислоты. Поскольку здесь дополнительным условием является добавление 90%-й кислоты, то второе уравнение составим по массе кислоты. И так, к имевшимся массам кислот 0,7х кг и 0,6у кг добавили кислоту массой кг, т.е. 1,8 кг и получили массу кислоты 0,7(х + у + 2) кг.

Запишем и решим систему двух уравнений с двумя переменными.

Запись в тетрадях:

Пусть первоначальная масса 70%-го раствора кислоты будет х кг, значит в нём кислоты будет 0,7х кг, а воды будет 0,3х кг. Аналогично, пусть первоначальная масса 60%-й растворы кислоты будет у кг, значит, в нём кислоты будет 0,6у кг, а воды будет 0,4у кг. По условию первый раз добавили 2 кг чистой воды, после чего концентрация раствора стала равной 50%, т.е. в полученном растворе воды будет 0,5(х + у +2) кг. Следовательно, первое уравнение имеет вид:

0,3х + 0,4у + 2 = 0,5(х + у +2). По условию второй раз добавили 2 кг 90%-й кислоты, значит, т.е. по массе кг или 1,8 кг и получили 70%-й раствор кислоты, масса кислоты в котором будет 0,7(х + у + 2) кг. Соответственно второе уравнение составим по массе кислоты в растворах:

0,7х + 0,6у + 1,8 = 0,7(х + у + 2). Решим систему двух уравнений с двумя переменными:

Получили 3 кг 70%-й кислоты.

Ответ: 3 кг.

Задача № 5. Первая труба наполняет бак объёмом 570 литров, а вторая труба – бак объёмом 530 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 литра воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?

Устные рассуждения:

Поскольку первая труба наполняет больший бак, значит у неё пропускная способность больше, чем у второй трубы. Если пропускную способность первой трубы обозначить через (х + 4) л за минуту, тогда пропускная способность второй трубы будет х л за минуту. Значит, время наполнения бака объёмом 570 л первой трубой будет минут, а время наполнения бака объёмом 530 л второй трубой будет минут. По условию баки были наполнены за одно и то же время.

Запись в тетрадях:

Пусть пропускная способность первой трубы будет (х + 4) л за минуту, тогда пропускная способность второй трубы будет х л за минуту. Значит, время наполнения бака объёмом 570 л первой трубой будет минут, а время наполнения бака объёмом 530 л второй трубой будет минут. По условию баки были наполнены за одно и то же время, т.е.:

= , 570 = , 570 = 530 + 2120 , 40 = 2120 , = 53.

Получили, что вторая труба за минуту пропускает 53 л.

Ответ: 53 л.

Задача № 6. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах.

Устные рассуждения:

По условию задачи скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, скорость течения равна 4 км/ч. Значит, скорость теплохода по течению реки будет 24 км/ч, а против течения –

16 км/ч. Обозначим расстояние от исходного пункта до пункта назначения за км. Тогда, время, затраченное от исходного пункта до пункта назначения будет ч, а время, затраченное на обратный путь будет ч. А всё время в пути, исключая стоянку 3 часа, составляет 10 часов.

Запись в тетрадях:

По условию задачи скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, скорость течения равна 4 км/ч. Значит, скорость теплохода по течению реки будет 24 км/ч, а против течения –

16 км/ч. Пусть расстояние от исходного пункта до пункта назначения за км. Тогда время, затраченное от исходного пункта до пункта назначения будет ч, а время, затраченное на обратный путь будет ч. Всё время в пути, исключая стоянку 3 часа, составляет 10 часов, т.е.:

Получили расстояние от исходного пункта до пункта назначения 96 км, значит

расстояние за весь рейс составляет 192 км.

Ответ: 192 км.

Приложение № 5. (домашнее задание)

Карточка – 1.

Задача № 1. Сберегательный банк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 рублей через 2 года?

Задача № 2. Два пешехода отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50 км, и встречаются через 5 ч. Определите скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч больше, чем у другого.

Задача № 3. Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?

Карточка – 2.

Задача № 1. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Задача № 2. К 40% раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора.

Задача № 3 Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причём город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 28 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 112 км ?