Решение систем двух линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

АЛГЕБРА 9 КЛАСС

Уравнение и его свойства

Определение

• Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных

Линейное уравнение с

одной переменной

ax=b

Линейное уравнение с

двумя переменными

ax+by=c

Свойства уравнений

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

Система уравнений и её решение

Определения

• Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
• Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
• Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или доказать, что их нет

Способы решения систем уравнений

Решение системы способом подстановки

Выразим у через х

у=2х+4,

7х - (2х+4)=1;

у=2х+4,

7х - у=1;

у - 2х=4,

7х - у =1;

Решим

уравнение

Подставим

7х - 2х - 4 = 1;

у=2х+4,

у=6,

х=1;

х=1.

5х = 5;

х=1 ;

Ответ: х=1; у=6 или (1;6)

Подставим

5

Способ подстановки (алгоритм)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

Решение системы способом сравнения

Подставим

Выразим у через х

у=2х+4,

х=1;

у - 2х=4,

7х - у =1;

Приравняем

выражения

для у

у=2·1+4,

х=1;

у=2х+4,

7х - 1= у;

у=6,

х=1.

7х - 1=2х+4,

Решим

уравнение

7х - 2х=4+1,

5х=5,

Ответ: (1; 6) или х=1; у=6

х=1.

Способ сравнения (алгоритм)

• Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении
• Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных
• Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение
• Записать ответ: х =…; у =… .

Уравняем

модули

коэффи-

циентов

перед у

Решение системы способом сложения

Решим

уравнение

х=3,

7·3+2у=1;

||·(-3)

7х+2у=1,

17х+6у=-9;

Сложим уравне-

х=3,

ния почленно

21+2у=1;

-21х-6у=-3,

17х+6у=-9;

+

____________

Решим

х=3,

2у=-20;

уравнение

- 4х = - 12,

7х+2у=1;

х=3,

у=-10.

Подставим

х=3,

7х+2у=1;

Ответ: x=3; y=-10; или (3; -10)

Способ сложения (алгоритм)

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

Решение системы графическим способом

Выразим у

через х

у - х=2,

у+х=10;

y

y=x+2

10

у=х+2,

у=10-х;

Построим график

первого уравнения

6

у=х+2

y=10 - x

х

0

-2

у

2

2

0

1

Построим график

второго уравнения

-2

4

x

10

0

1

у=10 - х

х

0

10

Ответ: (4; 6)

у

10

0

Графический способ (алгоритм)

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы методом определителей

7х+2у=1,

17х+6у=-9;

Составим матрицу из коэффициентов

при неизвестных 

Составим определи-

тель  x , заменив в определи-

теле  первый столбец

на столбец свободных

членов

7 2

17 6

= 7·6 - 2·17 = 42 - 34 = 8

 =

1 2

-9 6

Составим определи-

тель  y , заменив в определи-

теле  второй столбец

на столбец свободных

членов

= 1·6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24

 x =

7 1

17 -9

= 7·(-9) - 1·17 = - 63 -17= -80

 y =

Найдем

х и у

 y

 x

-80

24

у=

=

= -10.

=

3;

=

х=



8

8



Ответ: х=3; у= -10.

Метод определителей (алгоритм)

• Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель  .
• Найти - определитель  x , получаемый из  заменой первого столбца на столбец свободных членов.
• Найти - определитель  y , получаемый из  заменой второго столбца на столбец свободных членов.
• Найти значение переменной х по формуле  x /  .
• Найти значение переменной у по формуле  y /  .
• Записать ответ: х=…; у=… .

Теперь мы знаем

Как

Решать системы.