Разработка урока "Применение производной к исследованию функции"

Тема урока: Применение производной к исследованию функции

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

1. Организационный момент

2. Сообщение темы, цели и задач урока

3. Актуализация опорных знаний учащихся

4. Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала

5. Первичное применение приобретённых знаний

6. Подведение итогов урока

7. Сообщение домашнего задания

Ход урока

ӏ Организационный момент:

-приветствие учащихся;

- отметить отсутствующих на уроке;

- записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ Актуализация опорных знаний учащихся.

(Фронтальный опрос учащихся).

Вопросы:

1. Что называется функцией?

Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.

1. Что называется областью определения и областью значения функции?

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

1. Какая функция называется чётной (нечётной)?

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

1. Какие точки называются критическими?

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

1. Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

1. Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?

ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)0 и f᾽(x)

ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

1. Что называется точкой минимума (максимума) функции?

Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х₀) из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x₀)f(x) (f(x₀)f(x)).

1. Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

Точки экстремума.

1. Как определить точки экстремума?

Точка х₀, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

На слайде представлен график функции

1. D(f)=(-∞;+∞)

2. Функция ни чётная и ни нечётная

3. Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ

4. Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]

5. Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность

3. Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)

4. Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)

5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

6. Найти дополнительные точки (если нужно)

7. Построить график функции

Учитель на доске показывает образец выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x³-3x²+2

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=(-x)³-3(-x)²+2=-x³-3x²+2 f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x³-3x²+2=0;

х³-х²-2х²+2=0;

(х³-х²)-2(х²-1)=0;

х²(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;

(х-1)(х²-2х-2)=0;

х-1=0 или х²-2х-2=0;

х₁=1 D=(-2)²-4*1*(-2)=4+8=12;

х₂= =1+, х₃= =1-;

А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0³-2*0²+2=2 D(0;2)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х²-6х;

f᾽(x)=0 3х²-6х=0;

3х(х-2)=0;

3х=0 или х-2=0;

х₁=0; х₂=2

f᾽(1)=3*1²-6*1=3-6=-3, -3

f᾽(3)=3*3²-6*3=27-18=9, 90

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_max=0 y_max=0³-3*0²+2=2 E(0;2)

x_min=2 y_min=2³-3*2²+2=8-12+2=-2 F(2;-2)

v Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x³-2х²

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=(-x)³-2(-x)²=-x³-2x² =-(х³+2х²) f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x³-2x²=0;

х²(х-2)=0;

х²=0 или х-2=0;

х₁=0, Х₂=2 А(0;0), В(2;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0³-2*0²=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х²-4х;

f᾽(x)=0 3х²-4х=0;

х(3х-4)=0;

х₁=0, 3х-4=0

х₂=1

f᾽(1)=3*1²-4*1=3-4=-1, -1

f᾽(2)=3*2²-4*2=12-8=4, 40

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_max=0 y_max=0³-2*0²=0 С(0;0)

x_min= y_min=(³-2*()²=8-12+2=- =-1 D(2;-2)

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x³

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=3(-х)-(-x)³=-3х-x³ =-(3х-х³) f(-x)=-f(x) функция нечётная

3. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 3х-x³=0,

х(3-х²)=0,

х₁=0, 3-х²=0,

х²=3,

х₂=, х₃=- А(0;0), В(,0), С(-,0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*0-0³ =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3-3х²,

f᾽(x)=0 3-3х²=0,

3(1-х²)=0,

х²=1,

х₁=1, х₂=-1

f᾽(0)=3-3*0²=3, 30

f᾽(2)=3-3*2²=3-12=-9, -9

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_max=1 y_max=0³-2*0²=0 D(1;2)

x_min=-1 y_min=3*1-1³=3-1=2 E(-1;-2)

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x³-6x

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=(-x)³-6(-x)=-x³+6x =-(х³-6x) f(-x)=-f(x) функция нечётная

3. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x³-6x=0,

х(х²-6)=0,

х₁=0, х²-6=0,

х₂=, х₃=- А(0;0), В(,0), С(-,0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=0³-6*0 =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х²-6,

f᾽(x)=0 3х²-6=0,

3(х²-2)=0,

х²=2,

х₁=, х₂=-

f᾽(0)=3*0²-6=-6, -6

f᾽(2)=3*2²-6=12-6=6, 60

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_max=- y_max=(-³-6*( - )=-2 +6 =4 D(-;4)

x_min= y_min=³-6=2-6=-4 E(;-4)

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х⁴+2х²

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=-2(-х)⁴+2(-х)²=-2х⁴+2х² f(-x)=f(x) функция чётная

3. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 -2х⁴+2х²=0,

-2х²(х²-1)=0,

х₁=0, х²-1=0,

х₂=1, х₃=-1 А(0;0), В(1;0), С(-1;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=-2*0⁴+2*0²=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=-8х³+4х,

f᾽(x)=0 -8х³+4х =0,

-4х(2х²-1)=0,

-4х=0 или 2х²-1=0

х₁=0, х²=,

х₂=, х₃=-

f᾽(-1)=-8*(-1)³+4*(-1)=8-4=4, 4 0,

f᾽(-)=-8*(-)³+4*(-)=1-2=-1, -1

f᾽()=-8*()³+4*=-1+2=1, 10,

f᾽(1)=-8*1³+4*1=-8*4=-4, -4

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_max=- y_max=-2*(- )⁴+2*(- )²=-2*+2*  =- +1=  D(-;)

x_min=0 y_min=-2*0⁴+2*0²=0 А(0;0)

x_max= y_max=-2*( )⁴+2*( )²=-2*+2*  =- +1=  Е(;)

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х⁴-6х²

1. D(f)=(-∞:+∞)

2. f(-x)=3(-х)⁴-6(-х)²=3х⁴-6х² f(-x)=f(x) функция чётная

3. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 3х⁴-6х²=0,

3х²(х²-2)=0,

х₁=0, х²-2=0,

х₂=, х₃=- А(0;0), В(;0), С(-;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*0⁴-6*0²=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=12х³-12х,

f᾽(x)=0 12х³-12х =0,

12х(х²-1)=0,

12х=0 или х²-1=0

х₁=0, х²=1,

х₂=1, х₃=-1

f᾽(-2)=12*(-2)³-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72, -72

f᾽(-)=12*(-)³-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5 4,50,

f᾽()=12*()³-12*=-6=1,5-6=-4,5 -4,5

f᾽(2)=12*2³-12*2=12*8-24=96-24=72, 720,

1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

x_min=-1 y_min=3*(-1)⁴-6*(-1)²=3-6=-3 D(-1;-3)

x_max=0 y_max=3*0⁴-6*0²=0 А(0;0)

x_min=1 y_min=3*1⁴-6*1²=3-6=-3 Е(1;-3)

vӏ Подведение итогов урока.

Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.