Разработка урока по математике на тему "Формулы сложения. Формулы двойного угла"

Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.

Ход урока:

Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

cos(α–β)= cos α  cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.

cos(α+β)= cos α  cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.

sin(α+β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.

sin(α–β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.

Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла.

Положим β = α, получим тождества:

sin 2 α= 2 sin α cos α  (7)

cos 2 α=  sin² α – cos² α (8)

Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.

Пример 1) Упростить выражение

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).

Решение. По формуле (3) получим

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.

Ответ. sin 5α – cos α.

Пример 2) Упростить выражение

4sin² α +5 –4 cos² α.

Решение.

4sin² α +5 –4 cos² α=4sin² α–4 cos² α+5=4(sin² α– cos² α) + 5= 4 cos2 α +5. Применили формулу (8).

Ответ. 4 cos2 α +5.

Полную информацию смотрите в файле.

Урок 15-16 ( 10 класс)

ТЕМА: «Формулы суммы . Формулы ДВОЙНОГО УГЛА»

Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.

Ход урока:

Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

cos(–β)= cos α cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.

cos(+β)= cos α cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.

sin(+β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.

sin(–β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.

Формулы (1)-(4) – формулы сложения для косинуса и синуса.

(5) – формула тангенса суммы.

(6) – формула тангенса разности.

Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла.

Положим β = α, получим тождества:

sin 2 α= 2 sin α cos α (7)

cos 2 α= sin² α – cos² α (8)

(9)

Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.

Пример 1) Упростить выражение

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).

Решение. По формуле (3) получим

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.

Ответ. sin 5α – cos α.

Пример 2) Упростить выражение

4sin² α +5 –4 cos² α.

Решение.

4sin² α +5 –4 cos² α=4sin² α–4 cos² α+5=4(sin² α– cos² α) + 5= 4 cos2 α +5. Применили формулу (8).

Ответ. 4 cos2 α +5.

Пример 3) Найти значение выражения

(sin² х – cos² х), если .

Решение.

( sin² х – cos² х)= – cos 2 α.

Найдем cos 2 α.

cos 2 α=–= –.

Значит,

( sin² х – cos² х)= –·=2.

Ответ. 2.

Пример 4) Решить уравнение sin² х —sin 2х = 0.

После замены sin 2х на 2 sin х cos х по формуле (7) уравнение приводится к виду

sin² х –2 sin х cos х = 0.

Разложим левую часть на множители

sin х (sin х – 2 cos х) = 0,

откуда

sin x=0, т. е. х=πn, nZ,

или

sin х –2 cos х = 0,

откуда

tg х=2 и x = arctg 2 +πk, kZ.

Можно было разделить обе части уравнения на cos² х и получить уравнение

tg²x-2tgx = 0.

Если же делить на sin² х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0,– также решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin² х уравнения ctg х–=0 надо добавить корни уравнения sinx = 0.

Ответ. πn, nZ, arctg 2 +πk, kZ.

Пример 5. Найти произведение целых значений функции

.

Запишем функцию в виде

.

Т.к. выполняется равенство , то применим метод вспомогательного аргумента. Положим sin φ= , cos φ= . Тогда

= 3+ sin φ cos x– cos φ sin x= 3+ sin(φ–x).

Имеем,

.

Найдем произведение целых чисел из промежутка [2;4].

Получаем 2·3·4=24.

Ответ. 24.

Перед выполнением самостоятельных заданий и тестов, повторите пройденный материал с помощью http://www.openclass.ru/node/25459, http://www.openclass.ru/dig-resource/44994