Урок 15-16 ( 10 класс)
ТЕМА: «Формулы суммы . Формулы ДВОЙНОГО УГЛА»
Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.
Ход урока:
Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.
cos(–β)= cos α cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.
cos(+β)= cos α cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.
sin(+β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.
sin(–β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.
Формулы (1)-(4) – формулы сложения для косинуса и синуса.
(5) – формула тангенса суммы.
(6) – формула тангенса разности.
Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла.
Положим β = α, получим тождества:
sin 2 α= 2 sin α cos α (7)
cos 2 α= sin2 α – cos2 α (8)
(9)
Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.
Пример 1) Упростить выражение
sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).
Решение. По формуле (3) получим
sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.
Ответ. sin 5α – cos α.
Пример 2) Упростить выражение
4sin2 α +5 –4 cos2 α.
Решение.
4sin2 α +5 –4 cos2 α=4sin2 α–4 cos2 α+5=4(sin2 α– cos2 α) + 5= 4 cos2 α +5. Применили формулу (8).
Ответ. 4 cos2 α +5.
Пример 3) Найти значение выражения
(sin2 х – cos2 х), если
.
Решение.
( sin2 х – cos2 х)= –
cos 2 α.
Найдем cos 2 α.
cos 2 α=–
= –
.
Значит,
( sin2 х – cos2 х)= –
·
=2.
Ответ. 2.
Пример 4) Решить уравнение sin2 х —sin 2х = 0.
После замены sin 2х на 2 sin х cos х по формуле (7) уравнение приводится к виду
sin2 х –2 sin х cos х = 0.
Разложим левую часть на множители
sin х (sin х – 2 cos х) = 0,
откуда
sin x=0, т. е. х=πn, n
Z,
или
sin х –2 cos х = 0,
откуда
tg х=2 и x = arctg 2 +πk, k
Z.
Можно было разделить обе части уравнения на cos2 х и получить уравнение
tg2x-2tgx = 0.
Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0,– также решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin2 х уравнения ctg х–
=0 надо добавить корни уравнения sinx = 0.
Ответ. πn, n
Z, arctg 2 +πk, k
Z.
Пример 5. Найти произведение целых значений функции
.
Запишем функцию в виде
.
Т.к. выполняется равенство
, то применим метод вспомогательного аргумента. Положим sin φ=
, cos φ=
. Тогда
= 3+ sin φ cos x– cos φ sin x= 3+ sin(φ–x).
Имеем,
.
Найдем произведение целых чисел из промежутка [2;4].
Получаем 2·3·4=24.
Ответ. 24.
Перед выполнением самостоятельных заданий и тестов, повторите пройденный материал с помощью http://www.openclass.ru/node/25459, http://www.openclass.ru/dig-resource/44994