Рациональные методы решения задач повышенной сложности. Биссектрисы и медианы треугольника

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

                          (В. Произволов)

Рациональные методы решения задач повышенной сложности. Биссектрисы и медианы треугольника

Автор:

Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ г. Мурманска

СОШ № 31

Что мы знаем о биссектрисе треугольника из школьного учебника?

Определение

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

В

А

С

D

Свойства биссектрисы

А

D

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

В

С

В

О

А

С

Биссектриса внешнего угла треугольника

перпендикулярна биссектрисе смежного

с ним внутреннего угла.

В

Е

Дано:  ∆ ABC , ∠ BСD — внешний угол при вершине C ,

CE — биссектриса ∠ BCD , CF — биссектриса ∠ ACB . Доказать: ∠ FCE =90º. Доказательство: 

F

А

С

D

∠ ACB + ∠ BCD = 180⁰

∠ FCB = ACB

∠ FCB + ∠ ECB = ACB + DCB =

∠ ECB = DCB

= ( ACB + DCB ) = ∙ 180⁰ = 90⁰

Свойство биссектрисы внутреннего угла

треугольника

В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В

А

С

D

Доказательство:

Задача 1. В треугольнике АВС биссектриса AL и

высота ВН пересекаются в точке О . Найти радиус

описанной вокруг треугольника АВС окружности,

если известно, что ВС =4, а ВО : ОН =5:3.

Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС =4, BО : ОН =5:3 Найти: R .

В

4

L

О

А

С

Н

Решение :

По теореме синусов

По свойству биссектрисы треугольника

Из Δ АВН :

Ответ: R =2,5.

Свойство биссектрисы внешнего угла

треугольника

Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противоположной стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

D

С

А

В

Доказательство:

Задача 2. Биссектриса внутреннего угла В треугольника

АВС рассекает сторону АС на отрезки АК = 5, КС = 7.

На каком расстоянии от вершин А и С пересечет

продолжение АС биссектриса внешнего угла В ?

L

Дано: ∆ АВС BL – биссектриса ∠ АBF ВК - биссектриса ∠ АBС АК = 5, КС = 7

Найти: AL , CL

Решение:

х

A

K

5

7

C

B

F

х = 30

Пусть AL = х , тогда CL = x + 12

Ответ: AL = 30, CL = 42.

10

Задача 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4,

ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D .

Определите площадь треугольника ABD .

В

Дано: ∆ АВС, ∠ ABC = 30 ⁰ BD – биссектриса АB = 4, BС = 6

Найти: S ABD

Решение:

4

6

А

С

D

3x

2x

1. По свойству биссектрисы

2. Пусть AD = 2 х ; DC = З х .

S ABD = AB ∙ AD ∙ sin A, S ABD =

=

S ABC = AB ∙ AC ∙ sin A, S ABC =

3. S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC = ∙ 4∙ 6 ∙ sin 30 ⁰ = 6

4 . S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4

Ответ: 2,4

Биссектриса угла треугольника делит его

площадь на части, пропорциональные

прилежащим сторонам.

В

Дано:   Δ ABC ; BD – биссектриса

Доказать:   S ABD   : S BDC   = AB : BC

Доказательство:

А

С

H

D

• Δ ABD и  Δ DBC имеют общую высоту BH ,

S ABD  : S BDC   = AD : DC .

• BD – биссектриса AD : DC = AB : BC .

3. S ABD   : S BDC  = AD : DC

S ABD  : S BDC  = AB : BC

AD : DC = AB : BC

Другое решение задачи 3. Дан Δ АВС , в котором

угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса

угла В пересекает сторону АС в точке D .

Определите площадь треугольника ABD .

В

Дано: ∆ АВС, ∠ ABC = 30 ⁰ BD – биссектриса АB = 4, BС = 6

Найти: S ABD

Решение:

4

6

А

С

D

• S ABC = AB ∙ BC ∙ sin B, S ABC =

2. S ABD   : S BDC   = AВ : ВC = 2 : 3 S ABD = S ABC = ∙ 6 = 2,4

Ответ: 2,4

Задача 3. Дан Δ АВС , в котором угол В равен 30⁰, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Определите площадь треугольника ABD .

В

1 способ

А

С

D

2 способ

Задача 4. Одна из биссектрис треугольника делится

точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2,

считая от вершины. Найдите периметр треугольника,

если длина стороны треугольника, к которой эта

биссектриса проведена, равна 12.

B

Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы

BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12

Найти: Р АВС

Решение:

K

L

O

C

1. Из Δ ABD :

D

А

2. Из Δ CBD :

3.

+

4.

Ответ: 30

Малоизвестные свойства биссектрисы треугольника

Каждая биссектриса треугольника делится точкой

пересечения биссектрис в отношении суммы

прилежащих сторон к противолежащей, считая

от вершины.

B

с

K

N

a

O

C

D

А

b

Доказательство:

Другое решение задачи 4. Одна из биссектрис

треугольника делится точкой пересечения биссектрис

в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр

треугольника, если длина стороны треугольника, к которой

эта биссектриса проведена, равна 12.

B

Дано: Δ АВС, BD и AL – биссектрисы

BD ∩ AL = O, BО : OD = 3 : 2, АС = 12

Найти: Р АВС

Решение:

L

О

А

С

D

Ответ: 30.

Задача 4. Одна из биссектрис

треугольника делится точкой пересечения биссектрис

в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр

треугольника, если длина стороны треугольника, к которой

эта биссектриса проведена, равна 12.

B

1 способ

K

L

O

C

D

А

2 способ

Задача 5. В равнобедренном треугольнике АBC

с основанием BС проведена биссектриса ВE . Известно,

что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE.

А

Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10

Найти: ВЕ

Решение:

20

30

Е

• Используя свойство биссектрисы

угла треугольника

10

В

С

15

2. По теореме косинусов из Δ АВС найдем ∠ А

3. По теореме косинусов из Δ АВЕ найдем ВЕ

Формула длины биссектрисы треугольника

В

с

a

l

А

С

m

n

D

Доказательство:

Другое решение задачи 5. В равнобедренном треугольнике

АBC с основанием BС проведена биссектриса ВE . Известно,

что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE.

А

Дано:Δ АВС, АВ = АС, BE – биссектриса, АЕ = 20, СЕ = 10

Найти: ВЕ

Решение:

20

30

Е

10

В

• Используя свойство биссектрисы

угла треугольника

С

15

2.

Ответ: .

Задача 5. В равнобедренном треугольнике

АBC с основанием BС проведена биссектриса ВE . Известно,

что АЕ = 20 и СE = 10. Найдите BE.

А

1 способ

20

30

Е

10

С

В

15

2 способ

Формула длины биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника равна произведению

среднего гармонического прилежащих сторон

треугольника на косинус половинного угла между ними.

В

с

a

l

А

С

D

Доказательство:

Задача 6. Определить площадь треугольника, если две

его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла

между ними содержит 12 см.

В

35

Дано:Δ АВС, BD – биссектриса, АB = 35, BC = 14, ВD = 12

Найти : S АВС

Решение:

14

12

А

С

D

1.

2.

3.

Ответ: 235,2

Формула нахождения длин отрезков,

на которые биссектриса делит

противоположную сторону треугольника

В

с

a

А

С

m

n

D

b

Доказательство:

Задача 7. Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в

точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .

B

Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы

BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10

Найти: OD

Решение:

14

E

6

О

C

A

1.

D

3

10

2. Из ∆ CBD:

3. По теореме косинусов из Δ АВС:

из Δ DВС:

Формула длины биссектрисы треугольника

В

с

a

l

А

С

D

b

Доказательство:

Формула длины биссектрисы треугольника

В

с

a

l

А

С

D

b

Доказательство:

Другое решение задачи 7. Биссектрисы BD и CE ∆ ABC

пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .

B

Дано: Δ АВС, BD и CE – биссектрисы

BD ∩ CE = O, АB = 14, BC = 6, AC = 10

Найти: OD

Решение:

14

E

6

О

C

A

1.

D

10

2. Воспользуемся формулой

Ответ: .

Задача 7. Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О . АВ =14, ВС =6, АС =10. Найдите ОD .

B

1 способ

14

6

E

О

C

A

D

10

2 способ

Свойства биссектрисы треугольника

B

K

с

N

a

O

А

C

D

b

S ABD   : S BDC   = AB : BC

В

с

a

А

С

n

m

D

b

Медиана треугольника

Что мы знаем о медиане треугольника из школьного учебника?

Определение

Медиана треугольника  – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны

В

А

С

D

Свойства медианы

В

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

AO : OE = BD : OD = CO : OF = 2 : 1

• Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями), то есть  S ABD = S DBC

F

E

О

А

С

D

В

А

С

D

Задача 8. Площадь треугольника АВС равна 198.

Биссектриса AL пересекает медиану ВМ в точке К .

Найдите площадь четырехугольника MCLK , если известно,

что BL : CL = 7 : 4.

В

Дано:Δ АВС, АВ = АС, BМ – медиана,

АL – биссектриса, S ABC = 198

BM ∩ AL = K, BL : CL = 7 : 4

Найти: S MCLK

Решение:

L

K

А

С

M

1. По свойству медианы треугольника S ABM =S MBC = ∙ 198 = 99

2. По свойству биссектрисы треугольника

AB : AC = BL : CL = 7 : 4

AC = 2 AM

S AKM = S ABM = 22

AB : AM = 7 : 2

S ALC = S ABC = ∙ 198 = 72

3 . S ABL : S ALC =BL : CL = 7 : 4

4. S MCLK = S ALC – S AKM = 72 – 22 = 50

Ответ: 50

Малоизвестные свойства медианы треугольника

Треугольник делится тремя медианами на

шесть равновеликих треугольников.

S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD

В

F

E

О

А

С

D

Доказательство:

Задача 9.   В треугольнике ABC медианы CD и BE

пересекаются в точке К. Найдите площадь

четырехугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, а ∠ ACB=135⁰. 

Дано: Δ АВС, BE, CD – медианы

BЕ ∩ CВ = К, ВС = 20, АC = 12, ∠ АСВ = 135 ⁰

Найти: S АDКЕ

Решение:

В

D

M

K

1. Проведём медиану АМ.

А

С

2. S АВС = АС ∙ СВ ∙ sin ACB

E

S АВС = ∙ 12 ∙ 20 ∙ sin 135⁰ =

3. S АDK = S АEK = S BDK = S BMK = S CMK = S CEK = S АВС = ∙

4. S АDKE = 2 S АEK =

Ответ: .

Формула длины медианы через три стороны .

В

с

a

m b

А

С

D

b

Доказательство:

Следствие 1. Длины медиан и длины сторон

треугольника связаны формулой

В

D

M

K

А

С

E

Доказательство:

Следствие 2. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.

В

С

d 1

a

O

d 2

А

D

b

Доказательство:

Задача 10 . Стороны треугольника равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите длину этой медиану треугольника. 

В

Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана

Найти: BD

Решение:

a

b

d 2

А

• Достроим Δ АВС

до параллелограмма АВСЕ .

С

d 1

D

2. Воспользуемся формулой

2( a 2 + b 2 )= d 1 2 + d 2 2 .

Пусть d 2 = х , 2( 8 2  + 9 2  ) = 13 2  + x 2

х = 11 

Е

BD = ∙ 11 = 5,5

3 . BD = d 2 ,

Ответ : 5,5

Другое решение задачи 10.   Стороны треугольника

равны 8, 9 и 13. К наибольшей стороне треугольника

проведена медиана. Определите длину этой медиану

треугольника.

В

Дано: Δ АВС, АВ = 8, ВС = 9, АC = 13, BD – медиана

Найти: BD

Решение:

8

9

А

С

D

13

Ответ : 5,5

Формула длины медианы через две стороны

и угол между ними

В

с

a

m b

А

С

D

Доказательство:

Задача 11. Две стороны треугольника равны 34 и 32,

а медиана, проведенная к третьей, равна 17.

Найдите площадь треугольника.

Дано: Δ АВС, АВ = 34, ВС = 32, BD = 17 – медиана

Найти: S ABC

Решение:

В

А

С

D

Ответ : 480

Свойства медианы треугольника

В

S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD

F

E

О

А

С

D

В

m b

А

С

D

• Интернет-источники

• http:// www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm
• http://kaz2.docdat.com/docs/index-141467.html
• http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson179/?LESSON_PATH=456.486.571.179
• http://fb.ru/article/39926/bissektrisa-treugolnika-i-ee-svoystva
• http:// infourok.ru/prezentaciya-po-teme-zamechatelnie-svoystva-mediani-i-bissektrisi-410136.html
• http://www.berdov.com/docs/treugolnik/teorema-o-bissektrise-vnutrennego-ugla-treugolnika/
• http://gigabaza.ru/doc/44014.html
• http://ric.krorm.ru/static/files/bissektrisa_3.pdf
• http://egemaximum.ru/zadanie-18-t-r-116-a-larina/#more-18077
• http://infourok.ru/svoystvo_bissektrisy_ugla_treugolnika-159256.htm
• http:// alexlarin.net/ege/2016/abk.html

Спасибо за внимание

К

Дано: Δ АВС

BD – биссектриса

Доказать:

Доказательство:

В

А

С

D

1. Проведем СК параллельно BD.

2. - соответственные при секущей АК.

3. - накрест лежащие при секущей ВС.

4.

Δ КВС – р/б

ВК = ВС

5. По обобщенной теореме Фалеса

ВК = ВС

Дано: Δ АВС

BD – биссектриса ∠ CBF

Доказать:

Доказательство:

D

С

A

K

B

F

1. Проведем СК параллельно BD.

2. - соответственные при секущей AF.

3. - накрест лежащие при секущей ВС.

4.

Δ КВС – р/б

ВК = ВС

5.

ВК = ВС

Дано: ∆ АВС, AB = c , BC = a, AC =b, AN , BD, CK – биссектрисы

Доказать:

Доказательство:

B

с

a

K

N

O

x

C

b - x

А

D

b

1. Пусть DC = x . Тогда по свойству биссектрисы из Δ BCD и Δ ABD

2. Аналогично доказываются и другие утверждения.

Формула длины биссектрисы

В

Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AD = m, DC = n

Доказать: 

Доказательство:

с

a

l

А

С

m

n

D

1. Из Δ ABD по теореме косинусов

2. Из Δ СBD по теореме косинусов

3.

Разделим на ( а – с ), а ≠ с

Формула длины биссектрисы треугольника

В

Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a

Доказать: 

Доказательство:

с

a

l

А

С

D

Формула нахождения длин отрезков,

на которые биссектриса делит

противоположную сторону треугольника

В

Дано:   Δ ABC ; BD – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b, AD = m,

DC = n

Доказать:  ,

Доказательство:

с

a

А

С

m

n

D

b

1.

2. Аналогично доказывается второе утверждение.

Формула длины биссектрисы треугольника

В

Дано:   Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b

Доказать: 

Доказательство:

с

a

l

А

С

m

n

D

b

Формула длины биссектрисы треугольника

В

• Дано:  Δ ABC ; BD = l – биссектриса

AB = c , BC = a, AC = b

Доказать:  

Доказательство:

с

a

l

А

С

D

b

Треугольник делится тремя медианами на

шесть равновеликих треугольников.

В

Дано: Δ АВС, AE, BD, CF, – медианы

Доказать:

S АOF = S АOD = S BOF = S BOE = S COE = S COD

Доказательство:

F

E

О

О

А

С

1. S АOD = S DOC , т.к. AD = DC и у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины О .

D

Аналогично S AOF = S OFB, S BOE = S OEC

2. S АOD = АO ∙ OD ∙ sin AOD =

∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =

= ∙ AE ∙ BD ∙ sin AOD =

OE ∙ OB ∙sin BOE = S BOE

sin BOE

Аналогично получаем S AOF = S COE , S BOF = S COD.

Формула длины медианы треугольника

через его стороны .

В

Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана

Доказать:

Доказательство:

с

a

m b

π - α

α

А

С

D

• Воспользуемся теоремой косинусов

для Δ DВС и Δ АВD:

2. Сложим полученные равенства:

Следствие 1. Длины медиан и длины сторон

треугольника связаны формулой

В

• Дано:Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, AM = m a , BE = m b, CD = m c – медианы

Доказать:

Доказательство:

D

M

K

А

С

E

+

Следствие 2. В параллелограмме сумма квадратов

диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.

Дано: ABCD –параллелограмм,

AC и BD – диагонали

Доказать: AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2

Доказательство:

В

С

O

А

D

ВО = BD , ВО – медиана Δ АВС

АО = АС , AО – медиана Δ АВ D

Формула длины медианы через две стороны

и угол между ними

В

• Дано: Δ АВС, AB = c, BC = a, AC = b, BD = m b – медиана, ∠ ABC = β Доказать:

Доказательство:

с

a

m b

А

С

D

Воспользуемся формулой

и теоремой косинусов для стороны b