Пряма в прикладних задачах

Материал на украинском языке.

Мета:

- Систематизувати і узагальнити знання отримані на попередніх заняттях;

-  учити вмінню докладно і переконливо робити доповідь на задану тему;

-   розвивати інтерес до математики , показати практичне  використання математичних понять в звичайних життєвих ситуаціях.

Вид заняття: рольова гра - судове слухання.

Обладнання: плакати з  ілюстраціями  до задач.

       Хід засідання.

 Вступ.( керівник гуртка)

     Вивчення математики дає  великі можливості не тільки  в плані розвитку  здібностей студентів, але  здатне  в деякій мірі сформувати  інтерес до майбутньої професії. Якщо говорити про майбутніх бухгалтерів, фінансистів, програмістів, то можна  з впевненістю твердити, що математика в їх  житті  посідає особливе місце – не  тільки  як предмет, а  як інструмент професійної  діяльності.

            Традиційний курс математики  в основному  формалізований і має  абстрактний характер, тому на засіданнях гуртка розглядались  приклади практичного  використання знань , отриманих на навчальних   заняттях. Сьогодні  члени гуртка   продемонструють узагальнений досвід, отриманий на попередніх заняттях. Запрошуємо взяти участь  у відкритому засіданні  математичного гуртка, яке проводиться  у вигляді  судового  слухання.

  Основна частина.

 Судовий розпорядник:  Встати, суд іде.

Суддя . Сідайте. Починаємо слухання  справи « Пряма і студенти».

             Поступило   кілька  позовних заяв  даної справи.

             Пане  розпоряднику,  запросіть першого позивача .

Перший позивач. Я висуваю  позов  щодо того ,що пряма  весь час  змінює свій нахил. Я не можу збагнути,  для чого це потрібно?

Суддя.   Відповідач «Пряма», які роз’яснення ви можете надати?

Відповідач дає роз’яснення ( «Рівняння прямої», додаток 4.1)                   

Суддя до позивача: Тепер ви  зрозуміли  суть питання ?

Перший позивач:  Ваша  честь, я дуже старався, але не з’ясував    необхідність поняття «кутовий  коефіцієнт»  і що таке  ухил ? Суддя до прямої : Ваші роз’яснення не внесли  повної  ясності. Які ще аргументи  ви можете надати?

Відповідач: Ваша честь, можна запросити  свідка?

Суддя до розпорядника: Запросіть, будь ласка, свідка.

Перший свідок:  Я можу  навести  переконливі аргументи  на захист  особливостей поведінки  прямої ( додаток 4. 2)  Давайте розглянемо «Задачу про ухил шляху»

Суддя: Позивач, чи є ще  питання?

Перший позивач: Дякую за роз’яснення . Тепер я зрозумів  важливість такої поведінки  прямої і відхиляю  свій позов.

Суддя до прямої: На  жаль,  ще є кілька позовних заяв. Розпоряднику, запросіть наступного  позивача.

Другий позивач:  Я бажаю отримати  пояснення  з  приводу  дивної поведінки  графіка  прямої: то він чомусь зростає, то чомусь  починає  спадати, а зовсім перестає змінюватись!  Тож навіщо  так  заплутувати студентів?

Суддя : Суть  позову  зрозуміла . Відповідач, які роз’яснення ви можете  навести?

Відповідач: Для подання роз’яснення  я прошу запросити  другого свідка.

Другий свідок: давайте розглянемо  причину  дивної поведінки  графіка  прямої на прикладі задачі про басейн ( додаток 4. 3)

 Суддя: позивачу, чи зрозуміли ви  необхідність такої поведінки  графіка   прямої?

Другий позивач: Ваша честь, у мене є невпевненість  щодо такого пояснення .

Суддя : Відповідачу, що ще ви можете  запропонувати  на захист дивної  поведінки графіка прямої?

Відповідач : Ваша честь,запросіть,будь ласка, наступного свідка.

Третій свідок: Коли ми мандруємо  в потягах, то навряд чи ми замислюємося  про безпеку на залізничному транспорті . Так ось,  саме дивна поведінка графіка прямої   допомагає диспетчерам  забезпечувати  безпеку на залізничному  транспорті . Давайте   розглянемо приклад задачі  про графік руху.( додаток  4.4)

Другий позивач: Ваша честь , я відхиляю  свій позов,  тому що  мені дуже докладно пояснили  причини та необхідність різної  поведінки  графіка прямої.

Суддя : Пане розпоряднику, запросіть наступного позивача.

Третій позивач: Ваша честь, я - майбутній бухгалтер,  не розумію   корисності прямої для рішення    економічних задач.

Суддя : Відповідач, що ви можете сказати  з приводу економічної доцільності застосування прямої?

Відповідач :  Пропоную вислухати аргументи наступних  свідків.

 Суддя: Пане розпоряднику, запросіть наступного свідка.

Четвертий свідок: В багатьох кафе у вечірній час, використовують свічки,  не стільки для  економії освітлення, а для  створення  більш романтичного спілкування. Власник кафе  повинен правильно  скласти бюджет закладу ,тому він повинен   знати , з якою   швидкістю  горить  свічка, який час  і яку кількість свічок  треба  придбати (плакат № 5)

П’ятий свідок: Я - студентка 2-го курсу  бухгалтерського обліку,   можу роз’яснити першокурсницям , як важливо  знати властивості  графіка  прямої  на прикладі задач про вартість (додаток 4.5)

Суддя. Позивачі, чи задоволені ви  роз’ясненнями  наданими  відповідачем ?  Пропоную закрити  слухання справи.

Розпорядник :Для оголошення вироку- встати .

Суддя :  Вислухавши надані відповідачем  аргументи  на всі позови від студентів, справу оголошую закритою, оскільки позови  задоволені. Судове слухання закрите.

Підсумок: (керівник гуртка)

      На прикладі розглянутих задач  слухачі математичного гуртка  показали   використання прямої  у прикладних задачах  економіки, фізики, транспорту.

Сподіваємося , що  у всіх присутніх на сьогоднішньому  відкритому засіданні гуртка зміниться  ставлення  до математики , як до  строгої науки  з її не  завжди  зрозумілими  формулами,  графіками , правилами;  адже  гуртківці  змогли  продемонструвати  привабливість  математики  у таких повсякденних  життєвих ситуаціях. Якщо хтось зацікавився, запрошуємо  на наступні засідання  гуртка, які  будуть  присвячені застосуванню прямої до рішення  економічних  задач  математичного програмування.

ДОДАТКИ

.1 Рівняння з кутовим коефіцієнтом.

             У рівнянні  у=Кх, х і у є координатами довільної точки прямої, або, як їх  образно називають, поточними координатами, а величина К = tg а  характеризує  пряму в цілому, визначаючи кут її  нахилу до осі  х. При цьому оскільки дві прямі утворюють між собою  два різних кута, ми будемо розуміти під кутом нахилу  а-  кут, утворений  додатнім напрямом прямої (тобто  напрямом , що відповідає  росту х), як це показано на мал. 1 стрілкою, і віссю Ох. Дослідимо, як змінюється х із зміною кута а. Для цього почнемо  обертати  пряму навколо нерухомої точки О, зменшуючи кут а,  утворений  прямою з додатним напрямком  вісі х.  Оскільки k не залежить  від  положення точки М на прямій, будемо цю точку брати весь час з однією і тією абсцисою  х (рис.1). Тоді по мірі зменшення кута а зменшується і ордината у (у < у ), а з нею і К = у/х, при умові, що х не змінюється. Коли пряма займе положення вісі  Ох, то у, а відповідно, і К обернуться в нуль.  Продовжуючи  обертання далі, отримаємо від’ємне  К (у <0), і разом з цим кут стане від’ємним. (Кут вважають додатнім , якщо він  утворений обертанням прямої проти  годинникової стрілки, і    від’ємним  — при обертанні   за годинниковою    стрілкою.)

Величина k, характеризує   нахил прямої , називається кутовим коефіціентом прямої  або її  ухилом.   Чисельно кутовий   коефіціент   К дорівнює  tg a.

   З алгебраїчної , або, як частіше кажуть, з аналітичної точки зору  функція у=кх  є функцією прямої пропорційності.                                                                                                       

.2. Задача про ухил шляху.

На практиці часто використовують поняття  ухил для того, щоб охарактери­зувати положення прямої, тобто  ступінь її нахилу до  горизонтальної площини - К. Так, профіль шосейного або залізничного шляху можна повністю охарак­теризувати, вказавши величини К і  довжини ділянки, на якій  К практично  зберігає  постійне значення. У межах кожної такої ділянки шлях вважаємо прямолінійним.

В   якості    прикладу   накреслимо   профіль  шляху, визначений   такими даними:   

                               К=0,12           на     ділянці            0    — 2,0 км                     

                               К = 0,20           »                »           2,0  —  3,2 км

                               К = 0,05           »               »            3,2   —  5,3 км

                               К = 0                »               »            5,3  — 7,2 км

                               К = —0,1         »               »           7,2   — 12,4 км

                               К = 0,16           »              »           12,4 — 15,0 км

          Для того, щоб  накреслити  першу  ділянку, тобто  провести  пряму  з   ухилом К=0,12=12/100,   відкладаємо  від початку координат   по   осі   Ох 100 довільних одиничних  відрізків, у кінці  цього відрізку  відновлюємо перпендикуляр висотою в 12 таких же одиничних відрізків і  отриману точку з’єднуємо з початком. Іншими словами , потрібно побудувати  прямокутний  трикутник з катетами 100 та  12 одиниць. Тоді його гіпотенуза буде мати ухил  К=0,12 по відношенню до катета 100. Інші ділянки будуємо аналогічно. Весь профіль шляху показано на малюнку 2, причому додатнім значенням К відповідають підйоми ,а від’ємним К – спуски. При К = 0  шлях - горизонтальний.

3. Задачі, які розв’язуються за допомогою  рівняння прямої.

Існує багато практичних задач, у яких досліджувані функції на заданому інтервалі з достатньою для практики точністю можна представити лінійними функціями, тобто можна розв’язувати за допомогою рівняння прямої. При цьому розглянемо більш узагальнений випадок, коли шукану  функ­цію можна представити ламаною лінією, яка складається з декількох відрізків  прямих.

Задача. Вода наливається в басейн через трубу І зі швидкістю 3 одиниці в годину. По трубі ІІ   вода витікає зі швидкістю 2,4 одиниці в годину. На висоті h від дна басейну розташована труба ІІІ із пропускною спроможністю 1,6 одиниці в годину,яку перекриває кран  К і яка працює тільки 8 годин на добу( мал.3).

Потрібно дослідити режим рівня води Х в басейні , тобто виразити Х  як функцію часу.

Розв’язання.

Режим роботи басейну можна охарактеризувати двома періо­дами: перший — при відкритому крані К (8 годин) та другим — при закритому  крані К (16 годин).

Припустимо, що кран К  відкривають в момент, коли басейн повний (Х=3h;  t = 0). Тоді  в перший  період

Х = 3h - 3t — 2,4 t  — 1,6t=- t + 3h , до Х=h,  тобто до тих пір поки рівень води Х не досягне рівня h. Починаючи з цього моменту, для всього іншого часу першого періоду встановиться динамічна рівновага, так як при Х h діють всі три труби і приток менше витоку.

По закінченню восьми годин , виключаємо трубу ІІІ  . Починається другий період:

Х = h + 3 (t — 8) — 2,4 (t — 8) = 0,6 (t — 8) +h, до Х =3h.

Вище 3h рівень  води піднятися не може , оскільки вода поллється через край.  

            Все це показано  графічно (рис.4) За цим графіком можна в будь-який момент часу t визначити , який рівень води в басейні.

З аналогічною   задачею зіткнулися проектувальники Новокраматорського машинобудівного заводу.

Завод, що споживає велику кількість води, треба було  забезпечувати з невеликої річки, притоки Донця. Для того щоб «втамувати спрагу» цього гіганта в години найбільшого  повного навантаження, на річці потрібно було спорудити греблю для цілодобового  накопичення води, тобто спорудити «басейн» (мал.5), в якому   труба І — кількість води,  що надходить з течією річки, труба ІІ — втрати води на всмоктування (фільтрацію) в ґрунт під греблею та  цілодобове об­слуговування основних цехів заводу, труба ІІІ — зростання витрат  води  заводом при роботі на повну потужність в першу зміну. (Висота h необхідна для того, щоб водовідсосні турбини  не засмоктували мул.)

З графіка режиму річки (рис. ) помічаємо два можливих неприємних моменти. У першому періоді, починаючи з моменту, що відповідає точці В, починає не вистачати води, а в другому періоді від точки D відбувається – безкорисний  скид води.

4. Задача про розклад руху на залізничному  транспорті.

            Станції А і В сполучені одноколійним залізничним шляхом ( АВ= 28км). В 10км від станції А розташований полустанок Р. Зі станції А до станції В відходить поштовий потяг , час відправлення t = 10год 40хв; швидкість V=50км/год;  з трьоххвилинною зупинкою на полустанку Р.

             На дві хвилини пізніше на станцію А прибуває швидкій потяг , швидкість якого V=60км/год. Через скільки хвилин він повинен відправитися , щоб обігнати поштовий потяг саме на полустанку Р?

             Крім того, зі станції В до станції А ,із зупинкою на полустанку Р, вирушає товарний потяг, швидкість якого V=54км/год. Треба побудувати графік  безпечного руху потягів.

            Спочатку побудуємо графік руху поштового потягу в системі координат t, S; де t – час руху в хвилинах, S – пройдений шлях в км; відповідно швидкість  V = S /t  вимірюється в км /хв. За початок  відліку руху приймемо час t =10 год 40 хв. Тоді швидкість поштового потягу становитиме :

V= 50км/год=50/60 км/хв =5/6 км/хв. 

  Значить на перегоні АР шлях  змінюється за законом S=5/6 t;

На полустанку Р  S=10км =соnst  протягом 3хв; На перегоні РВ  S= 10 + 5/6 (t-3).   Для графіка швидкого потягу   S=V( t - t ). Відомо, що V= 60км/год=1км/хв, залишається  визначити t.

Визначаємо t   з умови, що зустріч швидкого з поштовим повинна відбутися на полустанку Р. Якби вона відбулася на перегоні АР або на РВ,то при одноколійному залізничному шляху це була б не зустріч, а катастрофа. Отже , точкою зустрічі може бути тільки будь-яка точка  на горизонтальній частині графіку руху поштового потягу . Нехай час проходження через полустанок Р швидкого потягу 10год 54хв (на дві хвилини пізніше прибуття поштового потягу). Маємо всі дані для знаходження t:

t = 10год 54 в – 10год 40хв =14хв ;    V=1км/хв. ;   S= 10км. Підставивши відповідні дані в рівняння руху    S= V(t- t ), отримаємо 10= 1(14- t ); звідки t =4хв. Остаточно отримаємо ,що час  відправлення швидкого потягу зі станції А дорівнює:

10год 40хв +4хв = 10год 44хв.

     Товарний потяг повинен прибути на полустанок Р до моменту проходження його швидким потягом для того , щоб перегін РВ був вільним. Для врахування можливих помилок руху призначимо прибуття товарного на три хвилини раніше  прибуття швидкого потягу, тобто для товарного потягу маємо  V=54км/год=0,9км/хв.;    S= РВ=18км; 

t=10год 51хв - 10год 40хв = 11хв, тоді 18=0,9(11- t );

 t = 11хв – 20хв= -9хв.

     Отже товарний потяг повинен вирушити зі станції В до станції А на 9 хвилин раніше, тобто в  10год31хв, відправитись після зупинки на полустанку він зможе  зразу ж після проходження швидкого потягу -  в 10год 54хв.

     4.5. Застосування лінійної функції для розв’язування задач з  економіки

              Серед соціальних наук - еко­номіка найбільшою мірою використовує математику. Математичні моделі, як пра­вило, ускладнюються поетапно з урахуванням послідовного змен­шення кількості обмежень при розв'язанні конкретних задач, що виникають у процесі навчання як майбутніх студентів-економістів. Особлива роль відводиться задачам, які демонст­рують застосування різних розділів математики в соціальних науках. Проілюструємо вищезгадане на розв'язанні окремих конкрет­них задач мікро- та макроекономіки.

Нагадаємо, що мікроекономіка аналізує діяльність окре­мих ланок господарської систе­ми. Це можуть бути окремі фір­ми, підприємства, ринки конк­ретних видів товарів та послуг тощо. При цьому одне з важли­вих питань мікроекономіки по­лягає у вивченні взаємодій по­питу та пропозицій. Попит на даний товар — це потреба у певній кількості товару, яка об­межена діючими цінами і пла­тоспроможністю споживачів. Пропозицію можна визначити як кількість товару, який може бути запропоновано на ринку для продажу за певною ціною.

Інтуїтивно очевидно, що ви­пуск додаткової продукції потре­бує додаткових витрат. Щоб спо­нукати до цього виробника, по­трібно запропонувати йому підвищену ціну, тобто пропози­ція є деякою функцією ціни. Якщо позначити пропозицію че­рез S а ціну через Р, то сказане може бути записане у вигляді:  S=f (P).

Ця функція може бути до­сить складною, і, крім того, про­позиція S може залежати не лише від ціни на товар Р, а й від інших факторів. Ми, свідо­мо, цими факторами зараз нех­туємо. В економіці графік за­лежності пропозиції від ціни на­зивається кривою пропозиції. Оскільки будь-якій функції на координатній площині відповідає деяка крива лінія, слово «крива» у даному випадку просто є синонімом «графіка функції». Крім того, економісти, як правило, незалежну змінну відкладають на вертикальній осі координат, а значення функції S— на горизонтальній. Традиція є традиція, і ми будемо наслідувати. Проте якщо пропозиція S залежить від ціни, то навпаки, ціна Р залежить від  пропозиції S це можливо записати у вигляді:     

   Р= g (S), де g - функція, називається оберненою відносно f.

Наприклад. Якщо  у = 2х — 4, то дістанемо обернену функцію: х = 0,5y + 2.

Записана у формі Р = g (S) крива пропозиції вказує лише на існування зв'язку між Р і S.

Конкретний вигляд цієї залежності може бути отриманий або з емпіричних даних, або з економічної теорії. Ми, однак, зробимо припущення, що цю залежність можна подати найбільш простою, а саме лінійною функцією: 

    Р= аS+ b,  де а і  b— деякі сталі величини, що називаються параметрами, визначаються емпірично.

Зрозуміло, наше припущення про лінійну залежність цін від пропозиції S є великим спрощенням дійсності. Проте, по-перше, лінійна функція найбільш проста і аналізувати її легше за все, по-друге, це дає нам можливість хоча б дещо наблизитися до розв'язання задачі. Такий прийом, при якому ми визна­чаємо деякі суттєві риси з реальної задачі, а потім робимо спрощення, припущення, дістав назву «моделювання». 

      Реальність «заміняємо» певною моделлю, досліджуючи яку ми можемо робити передбачення. Чим ближче модель до дійсності, тим вона складніша і тим точні­ше передбачення, яке можна зро­бити за її допомогою.

Економічна теорія (і здоро­вий глузд) підказують, що про­позиція товару зростає зі збільшенням ціни. Дійсно, чим вища ціна на товар, тим більше число виробників намагаються запропонувати цей товар на ринку. Це, в свою чергу, озна­чає, що функція є Р= аS+ в  є зростаючою, тобто а > 0 (мал.1).

  Займемося зараз вивченням кривої попиту. На відміну від кривої пропозиції вона є спада­ючою функцією. Дійсно, якщо ціна на якийсь товар зростає, то і кількість реалізованого товару зменшуватиметься. Можна сміливо стверджувати, що авто­мобілів класу «Деу-ланос» у нас реалізується більше, ніж ав­томобілів «Ролс-Ройс».

Припустимо далі, що криву попиту можна у першому на­ближенні також подати прямою лінією. Тоді, описуючи спадну функцію, крива попиту може бути записана у вигляді:

                                             Р= сD +d,   с< 0,

 де Р — ціна, D — попит, а с і d— сталі величини, тобто пара­метри. Як і для кривої пропо­зиції, ми користуємось оберне­ною функцією, тобто подамо ціну Р через попит D, а не на­впаки, віддаючи належне еко­номічній традиції.

Попит і пропозиція стосу­ються певного товару або гру­пи товарів. Кількість товару за­лежно від виду може вимірю­ватись у різних одиницях: ав­томобілі у штуках, нафтопродук­ти у тоннах і т.ін.  Для нас, од­нак, важливо, щоб ці одиниці для попиту і пропозиції  були одні й ті самі. Тому, зображаючи кіль­кість товару буквою Q, ми мо­жемо криві попиту і пропозиції зобразити на одному графіку (мал. 3).

У мікроекономіці виникає інтерес — точка перетину кри­вих попиту і пропозиції. Ця точ­ка називається точкою рівнова­ги, а відповідна їй ціна — рівноважна  ціною. Такі назви по­в'язані з тією обставиною, що в точці рівноваги попит прихо­дить у відповідність з пропози­цією, тобто увесь вироблений товар знаходить свого покупця, і всі бажаючі придбати даний товар мають змогу це зробити. Не менше ніж рівноважна ціна викликає інтерес відхилення ринкової ціни від рівноважної.

Звернемось до мал. 3.  З нього видно, що якщо ринкова ціна Р1 більше рівноважної ціни Р0, кількість товару QS, що відпові­дає пропозиції, більше кількості товару Qр, що відповідає попи­ту, тобто пропозиція перевищує попит. Як наслідок — надлишок нереалізованої продукції на скла­дах. У свою чергу це буде спону­кати виробників зменшити ціну на продукцію, тобто ринкова ціна Р1 прямуватиме до рівноважної ціни Р0. Це явище відоме як «тиск ринку».

Припустимо, що ринкова ціна Р1 менша рівноважної ціни Р0. З мал. 4 маємо, що у цьому випадку кількість товару QS що відповідає ринковій ціні Р1, менша кількості товару QD, що відповідає тій самій ринковій ціні Р1. Це, в свою чергу, озна­чає, що попит перевищує про­позицію. У такій ситуації ви­робники товару, користуючись дефіцитом,

підвищують ціну, тобто ринкова ціна знову пря­мує до рівноважної ціни Р0.

Необхідно ще раз підкресли­ти, що модель, яку ми щойно розглянули, сильно спрощує дійсність. По-перше, вона міс­тить припущення про лінійність кривих (функцій) попиту і про­позиції. По-друге, попит і про­позиція залежать не лише від ціни, а й від ряду інших фак­торів. Це, в свою чергу, потре­бує використання складнішого та вдосконалішого математично­го апарату, зокрема, теорії функцій багатьох змінних.

Використані   джерела

1. Слєпкань З.І. Методика навчання математики.- К:Вища шк.,2006.- 582с.  р.9 с.143-147
2. Колягин Ю.М. Методика преподавание математики в средней школе .- М:Просвещение ,1975 .-462с.  с.336-344
3. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.  М:Просвещение ,1997.-288с.    Т.5,с.18, Т.11,  с.41-48
4. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике.М.:Просвещение, 1985.- 175с., с141-150
5. У світі математики , випуск 7, К.:- Радянська шк..,1076.-   228с., с23-35
6. Математика в школі ,10.2010- с.22-26
7. Математика в школі,11.2010- с.3-4
8. Квант,11.1974 - с.48-53.

Гурткова робота ./ Викладач математики Новокаховського технікуму

Корж Л.М.

СЦЕНАРІЙ ВІДКРИТОГО ЗАСІДАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО ГУРТКА

У державних вимогах до рівня навчально-виховного процесу зростає роль уміння здобувати інформацію з різних джерел, засвоювати та оцінювати її, застосовуючи способи пізнавальної і творчої діяльності. Особливе місце в освітній діяльності займає робота з обдарованою та талановитою молоддю. У цьому контексті важко переоцінити роль позааудиторної роботи, одним з напрямком якої є організація роботи гуртків.

Однією із форм проведення роботи в гуртках є рольова гра, в якій можна цікаво і змістовно продемонструвати основні результати роботи членів гуртка. На розгляд пропонується сценарій відкритого засідання математичного гуртка, в якому підводиться підсумок розглянутої теми «Використання графіків функцій для розв’язання прикладних задач».

Тема: «Пряма в прикладних задачах»

Мета: - Систематизувати і узагальнити знання отримані на попередніх заняттях;

- учити вмінню докладно і переконливо робити доповідь на задану тему;

- розвивати інтерес до математики , показати практичне використання

математичних понять в звичайних життєвих ситуаціях.

Вид заняття: рольова гра - судове слухання.

Обладнання: плакати з ілюстраціями до задач.

Хід засідання.

Вступ.( керівник гуртка)

Вивчення математики дає великі можливості не тільки в плані розвитку здібностей студентів, але здатне в деякій мірі сформувати інтерес до майбутньої професії. Якщо говорити про майбутніх бухгалтерів, фінансистів, програмістів, то можна з впевненістю твердити, що математика в їх житті посідає особливе місце – не тільки як предмет, а як інструмент професійної діяльності.

Традиційний курс математики в основному формалізований і має абстрактний характер, тому на засіданнях гуртка розглядались приклади практичного використання знань , отриманих на навчальних заняттях. Сьогодні члени гуртка продемонструють узагальнений досвід, отриманий на попередніх заняттях. Запрошуємо взяти участь у відкритому засіданні математичного гуртка, яке проводиться у вигляді судового слухання.

Основна частина.

Судовий розпорядник: Встати, суд іде.

Суддя . Сідайте. Починаємо слухання справи « Пряма і студенти».

Поступило кілька позовних заяв даної справи.

Пане розпоряднику, запросіть першого позивача .

Перший позивач. Я висуваю позов щодо того ,що пряма весь час змінює свій нахил. Я не можу збагнути, для чого це потрібно?

Суддя. Відповідач «Пряма», які роз’яснення ви можете надати?

Відповідач дає роз’яснення ( «Рівняння прямої», додаток 4.1)

Суддя до позивача: Тепер ви зрозуміли суть питання ?

Перший позивач: Ваша честь, я дуже старався, але не з’ясував необхідність поняття «кутовий коефіцієнт» і що таке ухил ? Суддя до прямої : Ваші роз’яснення не внесли повної ясності. Які ще аргументи ви можете надати?

Відповідач: Ваша честь, можна запросити свідка?

Суддя до розпорядника: Запросіть, будь ласка, свідка.

Перший свідок: Я можу навести переконливі аргументи на захист особливостей поведінки прямої ( додаток 4. 2) Давайте розглянемо «Задачу про ухил шляху»

Суддя: Позивач, чи є ще питання?

Перший позивач: Дякую за роз’яснення . Тепер я зрозумів важливість такої поведінки прямої і відхиляю свій позов.

Суддя до прямої: На жаль, ще є кілька позовних заяв. Розпоряднику, запросіть наступного позивача.

Другий позивач: Я бажаю отримати пояснення з приводу дивної поведінки графіка прямої: то він чомусь зростає, то чомусь починає спадати, а зовсім перестає змінюватись! Тож навіщо так заплутувати студентів?

Суддя : Суть позову зрозуміла . Відповідач, які роз’яснення ви можете навести?

Відповідач: Для подання роз’яснення я прошу запросити другого свідка.

Другий свідок: давайте розглянемо причину дивної поведінки графіка прямої на прикладі задачі про басейн ( додаток 4. 3)

Суддя: позивачу, чи зрозуміли ви необхідність такої поведінки графіка прямої?

Другий позивач: Ваша честь, у мене є невпевненість щодо такого пояснення .

Суддя : Відповідачу, що ще ви можете запропонувати на захист дивної поведінки графіка прямої?

Відповідач : Ваша честь,запросіть,будь ласка, наступного свідка.

Третій свідок: Коли ми мандруємо в потягах, то навряд чи ми замислюємося про безпеку на залізничному транспорті . Так ось, саме дивна поведінка графіка прямої допомагає диспетчерам забезпечувати безпеку на залізничному транспорті . Давайте розглянемо приклад задачі про графік руху.( додаток 4.4)

Другий позивач: Ваша честь , я відхиляю свій позов, тому що мені дуже докладно пояснили причини та необхідність різної поведінки графіка прямої.

Суддя : Пане розпоряднику, запросіть наступного позивача.

Третій позивач: Ваша честь, я - майбутній бухгалтер, не розумію корисності прямої для рішення економічних задач.

Суддя : Відповідач, що ви можете сказати з приводу економічної доцільності застосування прямої?

Відповідач : Пропоную вислухати аргументи наступних свідків.

Суддя: Пане розпоряднику, запросіть наступного свідка.

Четвертий свідок: В багатьох кафе у вечірній час, використовують свічки, не стільки для економії освітлення, а для створення більш романтичного спілкування. Власник кафе повинен правильно скласти бюджет закладу ,тому він повинен знати , з якою швидкістю горить свічка, який час і яку кількість свічок треба придбати (плакат № 5)

П’ятий свідок: Я - студентка 2-го курсу бухгалтерського обліку, можу роз’яснити першокурсницям , як важливо знати властивості графіка прямої на прикладі задач про вартість (додаток 4.5)

Суддя. Позивачі, чи задоволені ви роз’ясненнями наданими відповідачем ? Пропоную закрити слухання справи.

Розпорядник :Для оголошення вироку- встати .

Суддя : Вислухавши надані відповідачем аргументи на всі позови від студентів, справу оголошую закритою, оскільки позови задоволені. Судове слухання закрите.

Підсумок: (керівник гуртка)

На прикладі розглянутих задач слухачі математичного гуртка показали використання прямої у прикладних задачах економіки, фізики, транспорту.

Сподіваємося , що у всіх присутніх на сьогоднішньому відкритому засіданні гуртка зміниться ставлення до математики , як до строгої науки з її не завжди зрозумілими формулами, графіками , правилами; адже гуртківці змогли продемонструвати привабливість математики у таких повсякденних життєвих ситуаціях. Якщо хтось зацікавився, запрошуємо на наступні засідання гуртка, які будуть присвячені застосуванню прямої до рішення економічних задач математичного програмування.

ДОДАТКИ

.1 Рівняння з кутовим коефіцієнтом.

У рівнянні у=Кх, х і у є координатами довільної точки прямої, або, як їх образно називають, поточними координатами, а величина К = tg а характеризує пряму в цілому, визначаючи кут її нахилу до осі х. При цьому оскільки дві прямі утворюють між собою два різних кута, ми будемо розуміти під кутом нахилу а- кут, утворений додатнім напрямом прямої (тобто напрямом , що відповідає росту х), як це показано на мал. 1 стрілкою, і віссю Ох. Дослідимо, як змінюється х із зміною кута а. Для цього почнемо обертати пряму навколо нерухомої точки О, зменшуючи кут а, утворений прямою з додатним напрямком вісі х. Оскільки k не залежить від положення точки М на прямій, будемо цю точку брати весь час з однією і тією абсцисою х (рис.1). Тоді по мірі зменшення кута а зменшується і ордината у (у), а з нею і К = у/х, при умові, що х не змінюється. Коли пряма займе положення вісі Ох, то у, а відповідно, і К обернуться в нуль. Продовжуючи обертання далі, отримаємо від’ємне К (у

Величина k, характеризує нахил прямої , називається кутовим коефіціентом прямої або її ухилом. Чисельно кутовий коефіціент К дорівнює tg a.

З алгебраїчної , або, як частіше кажуть, з аналітичної точки зору функція у=кх є функцією прямої пропорційності.

Мал.1

.2. Задача про ухил шляху.

На практиці часто використовують поняття ухил для того, щоб охарактери­зувати положення прямої, тобто ступінь її нахилу до горизонтальної площини - К. Так, профіль шосейного або залізничного шляху можна повністю охарак­теризувати, вказавши величини К і довжини ділянки, на якій К практично зберігає постійне значення. У межах кожної такої ділянки шлях вважаємо прямолінійним.

В якості прикладу накреслимо профіль шляху, визначений такими даними:

К=0,12 на ділянці 0 — 2,0 км

К = 0,20 » » 2,0 — 3,2 км

К = 0,05 » » 3,2 — 5,3 км

К = 0 » » 5,3 — 7,2 км

К = —0,1 » » 7,2 — 12,4 км

К = 0,16 » » 12,4 — 15,0 км

Для того, щоб накреслити першу ділянку, тобто провести пряму з ухилом К=0,12=12/100, відкладаємо від початку координат по осі Ох 100 довільних одиничних відрізків, у кінці цього відрізку відновлюємо перпендикуляр висотою в 12 таких же одиничних відрізків і отриману точку з’єднуємо з початком. Іншими словами , потрібно побудувати прямокутний трикутник з катетами 100 та 12 одиниць. Тоді його гіпотенуза буде мати ухил К=0,12 по відношенню до катета 100. Інші ділянки будуємо аналогічно. Весь профіль шляху показано на малюнку 2, причому додатнім значенням К відповідають підйоми ,а від’ємним К – спуски. При К = 0 шлях - горизонтальний.

Мал.2

.3 Задачі, які розв’язуються за допомогою рівняння прямої.

Існує багато практичних задач, у яких досліджувані функції на заданому інтервалі з достатньою для практики точністю можна представити лінійними функціями, тобто можна розв’язувати за допомогою рівняння прямої. При цьому розглянемо більш узагальнений випадок, коли шукану функ­цію можна представити ламаною лінією, яка складається з декількох відрізків прямих.

Задача. Вода наливається в басейн через трубу І зі швидкістю 3 одиниці в годину. По трубі ІІ вода витікає зі швидкістю 2,4 одиниці в годину. На висоті h від дна басейну розташована труба ІІІ із пропускною спроможністю 1,6 одиниці в годину,яку перекриває кран К і яка працює тільки 8 годин на добу( мал.3).

Потрібно дослідити режим рівня води Х в басейні , тобто виразити Х як функцію часу.

Мал. 3

Розв’язання.

Режим роботи басейну можна охарактеризувати двома періо­дами: перший — при відкритому крані К (8 годин) та другим — при закритому крані К (16 годин).

Припустимо, що кран К відкривають в момент, коли басейн повний (Х=3h; t = 0). Тоді в перший період

Х = 3h - 3t — 2,4 t — 1,6t=- t + 3h , до Х=h, тобто до тих пір поки

Мал.4

рівень води Х не досягне рівня h. Починаючи з цього моменту, для всього іншого часу першого періоду встановиться динамічна рівновага, так як при Х h діють всі три труби і приток менше витоку.

По закінченню восьми годин , виключаємо трубу ІІІ . Починається другий період:

Х = h + 3 (t — 8) — 2,4 (t — 8) = 0,6 (t — 8) +h, до Х =3h.

Вище 3h рівень води піднятися не може , оскільки вода поллється через край.

Все це показано графічно (рис.4) За цим графіком можна в будь-який момент часу t визначити , який рівень води в басейні.

З аналогічною задачею зіткнулися проектувальники Новокраматорського машинобудівного заводу.

Завод, що споживає велику кількість води, треба було забезпечувати з невеликої річки, притоки Донця. Для того щоб «втамувати спрагу» цього гіганта в години найбільшого повного навантаження, на річці потрібно було спорудити греблю для цілодобового накопичення води, тобто спорудити «басейн» (мал.5), в якому труба І — кількість води, що надходить з течією річки, труба ІІ — втрати води на всмоктування (фільтрацію) в ґрунт під греблею та цілодобове об­слуговування основних цехів заводу, труба ІІІ — зростання витрат води заводом при роботі на повну потужність в першу зміну. (Висота h необхідна для того, щоб водовідсосні турбини не засмоктували мул.)

З графіка режиму річки (рис. ) помічаємо два можливих неприємних моменти. У першому періоді, починаючи з моменту, що відповідає точці В, починає не вистачати води, а в другому періоді від точки D відбувається – безкорисний скид води.

Верхній бьєф річки Водовідсосні турбіни

Мал.5

4. Задача про розклад руху на залізничному транспорті.

Станції А і В сполучені одноколійним залізничним шляхом ( АВ= 28км). В 10км від станції А розташований полустанок Р. Зі станції А до станції В відходить поштовий потяг , час відправлення t = 10год 40хв; швидкість V=50км/год; з трьоххвилинною зупинкою на полустанку Р.

На дві хвилини пізніше на станцію А прибуває швидкій потяг , швидкість якого V=60км/год. Через скільки хвилин він повинен відправитися , щоб обігнати поштовий потяг саме на полустанку Р?

Крім того, зі станції В до станції А ,із зупинкою на полустанку Р, вирушає товарний потяг, швидкість якого V=54км/год. Треба побудувати графік безпечного руху потягів.

Спочатку побудуємо графік руху поштового потягу в системі координат t, S; де t – час руху в хвилинах, S – пройдений шлях в км; відповідно швидкість V = S /t вимірюється в км /хв. За початок відліку руху приймемо час t =10 год 40 хв. Тоді швидкість поштового потягу становитиме :

V= 50км/год=50/60 км/хв =5/6 км/хв.

Значить на перегоні АР шлях змінюється за законом S=5/6 t;

На полустанку Р S=10км =соnst протягом 3хв;

На перегоні РВ S= 10 + 5/6 (t-3).

Для графіка швидкого потягу S=V( t - t). Відомо, що V= 60км/год=1км/хв, залишається визначити t.

Визначаємо t з умови, що зустріч швидкого з поштовим повинна відбутися на полустанку Р. Якби вона відбулася на перегоні АР або на РВ,то при одноколійному залізничному шляху це була б не зустріч, а катастрофа. Отже , точкою зустрічі може бути тільки будь-яка точка на горизонтальній частині графіку руху поштового потягу . Нехай час проходження через полустанок Р швидкого потягу 10год 54хв (на дві хвилини пізніше прибуття поштового потягу). Маємо всі дані для знаходження t:

t = 10год 54 в – 10год 40хв =14хв ; V=1км/хв. ; S= 10км. Підставивши відповідні дані в рівняння руху S= V(t- t), отримаємо 10= 1(14- t); звідки t=4хв. Остаточно отримаємо ,що час відправлення швидкого потягу зі станції А дорівнює:

10год 40хв +4хв = 10год 44хв.

Товарний потяг повинен прибути на полустанок Р до моменту проходження його швидким потягом для того , щоб перегін РВ був вільним. Для врахування можливих помилок руху призначимо прибуття товарного на три хвилини раніше прибуття швидкого потягу, тобто для товарного потягу маємо V=54км/год=0,9км/хв.; S= РВ=18км;

t=10год 51хв - 10год 40хв = 11хв, тоді 18=0,9(11- t);

t= 11хв – 20хв= -9хв.

Отже товарний потяг повинен вирушити зі станції В до станції А на 9 хвилин раніше, тобто в 10год31хв, відправитись після зупинки на полустанку він зможе зразу ж після проходження швидкого потягу - в 10год 54хв.

Описаний графік руху представлений на малюнку 6.

Мал. 6

4.5. Застосування лінійної функції для розв’язування задач з

економіки

Серед соціальних наук - еко­номіка найбільшою мірою використовує математику. Математичні моделі, як пра­вило, ускладнюються поетапно з урахуванням послідовного змен­шення кількості обмежень при розв'язанні конкретних задач, що виникають у процесі навчання як майбутніх студентів-економістів. Особлива роль відводиться задачам, які демонст­рують застосування різних розділів математики в соціальних науках. Проілюструємо вищезгадане на розв'язанні окремих конкрет­них задач мікро- та макроекономіки.

Нагадаємо, що мікроекономіка аналізує діяльність окре­мих ланок господарської систе­ми. Це можуть бути окремі фір­ми, підприємства, ринки конк­ретних видів товарів та послуг тощо. При цьому одне з важли­вих питань мікроекономіки по­лягає у вивченні взаємодій по­питу та пропозицій. Попит на даний товар — це потреба у певній кількості товару, яка об­межена діючими цінами і пла­тоспроможністю споживачів. Пропозицію можна визначити як кількість товару, який може бути запропоновано на ринку для продажу за певною ціною.

Інтуїтивно очевидно, що ви­пуск додаткової продукції потре­бує додаткових витрат. Щоб спо­нукати до цього виробника, по­трібно запропонувати йому підвищену ціну, тобто пропози­ція є деякою функцією ціни. Якщо позначити пропозицію че­рез S а ціну через Р, то сказане може бути записане у вигляді: S=f (P).

Ця функція може бути до­сить складною, і, крім того, про­позиція S може залежати не лише від ціни на товар Р, а й від інших факторів. Ми, свідо­мо, цими факторами зараз нех­туємо. В економіці графік за­лежності пропозиції від ціни на­зивається кривою пропозиції. Оскільки будь-якій функції на координатній площині відповідає деяка крива лінія, слово «крива» у даному випадку просто є синонімом «графіка функції». Крім того, економісти, як правило, незалежну змінну відкладають на вертикальній осі координат, а значення функції S— на горизонтальній. Традиція є традиція, і ми будемо наслідувати. Проте якщо пропозиція S залежить від ціни, то навпаки, ціна Р залежить від пропозиції S це можливо записати у вигляді:

Р= g (S), де g - функція, називається оберненою відносно f.

Наприклад. Якщо у = 2х — 4, то дістанемо обернену функцію: х = 0,5y + 2.

Записана у формі Р = g (S) крива пропозиції вказує лише на існування зв'язку між Р і S.

Конкретний вигляд цієї залежності може бути отриманий або з емпіричних даних, або з економічної теорії. Ми, однак, зробимо припущення, що цю залежність можна подати найбільш простою, а саме лінійною функцією:

Р= аS+ b, де а і b— деякі сталі величини, що називаються параметрами, визначаються емпірично.

Зрозуміло, наше припущення про лінійну залежність цін від пропозиції S є великим спрощенням дійсності. Проте, по-перше, лінійна функція найбільш проста і аналізувати її легше за все, по-друге, це дає нам можливість хоча б дещо наблизитися до розв'язання задачі. Такий прийом, при якому ми визна­чаємо деякі суттєві риси з реальної задачі, а потім робимо спрощення, припущення, дістав назву «моделювання».

Реальність «заміняємо» певною моделлю, досліджуючи яку ми можемо робити передбачення. Чим ближче модель до дійсності, тим вона складніша і тим точні­ше передбачення, яке можна зро­бити за її допомогою.

Економічна теорія (і здоро­вий глузд) підказують, що про­позиція товару зростає зі збільшенням ціни. Дійсно, чим вища ціна на товар, тим більше число виробників намагаються запропонувати цей товар на ринку. Це, в свою чергу, озна­чає, що функція є Р= аS+ в є зростаючою, тобто а 0 (мал.1).

Мал. 1

Займемося зараз вивченням кривої попиту. На відміну від кривої пропозиції вона є спада­ючою функцією. Дійсно, якщо ціна на якийсь товар зростає, то і кількість реалізованого товару зменшуватиметься. Можна сміливо стверджувати, що авто­мобілів класу «Деу-ланос» у нас реалізується більше, ніж ав­томобілів «Ролс-Ройс».

Припустимо далі, що криву попиту можна у першому на­ближенні також подати прямою лінією. Тоді, описуючи спадну функцію, крива попиту може бути записана у вигляді:

Р= сD +d, с

де Р — ціна, D — попит, а с і d— сталі величини, тобто пара­метри. Як і для кривої пропо­зиції, ми користуємось оберне­ною функцією, тобто подамо ціну Р через попит D, а не на­впаки, віддаючи належне еко­номічній традиції. Графік кри­вої попиту у лінійному набли­женні зображено на мал. 2.

Попит і пропозиція стосу­ються певного товару або гру­пи товарів. Кількість товару за­лежно від виду може вимірю­ватись у різних одиницях: ав­томобілі у штуках, нафтопродук­ти у тоннах і т.ін. Для нас, од­нак, важливо, щоб ці одиниці для попиту і пропозиції були одні й ті самі. Тому, зображаючи кіль­кість товару буквою Q, ми мо­жемо криві попиту і пропозиції зобразити на одному графіку (мал. 3).

У мікроекономіці виникає інтерес — точка перетину кри­вих попиту і пропозиції. Ця точ­ка називається точкою рівнова­ги, а відповідна їй ціна — рівноважна ціною. Такі назви по­в'язані з тією обставиною, що в точці рівноваги попит прихо­дить у відповідність з пропози­цією, тобто увесь вироблений товар знаходить свого покупця, і всі бажаючі придбати даний товар мають змогу це зробити. Не менше ніж рівноважна ціна викликає інтерес відхилення ринкової ціни від рівноважної.

Звернемось до мал. 3. З нього видно, що якщо ринкова ціна Р1 більше рівноважної ціни Р0, кількість товару QS, що відпові­дає пропозиції, більше кількості товару Qр, що відповідає попи­ту, тобто пропозиція перевищує попит. Як наслідок — надлишок нереалізованої продукції на скла­дах. У свою чергу це буде спону­кати виробників зменшити ціну на продукцію, тобто ринкова ціна Р1 прямуватиме до рівноважної ціни Р0. Це явище відоме як «тиск ринку».

Припустимо, що ринкова ціна Р1 менша рівноважної ціни Р0. З мал. 4 маємо, що у цьому випадку кількість товару QS що відповідає ринковій ціні Р1, менша кількості товару QD, що відповідає тій самій ринковій ціні Р1. Це, в свою чергу, озна­чає, що попит перевищує про­позицію. У такій ситуації ви­робники товару, користуючись дефіцитом,

підвищують ціну, тобто ринкова ціна знову пря­мує до рівноважної ціни Р0.

Необхідно ще раз підкресли­ти, що модель, яку ми щойно розглянули, сильно спрощує дійсність. По-перше, вона міс­тить припущення про лінійність кривих (функцій) попиту і про­позиції. По-друге, попит і про­позиція залежать не лише від ціни, а й від ряду інших фак­торів. Це, в свою чергу, потре­бує використання складнішого та вдосконалішого математично­го апарату, зокрема, теорії функцій багатьох змінних.

Використані джерела

1. Слєпкань З.І. Методика навчання математики.- К:Вища шк.,2006.- 582с. р.9 с.143-147

2. Колягин Ю.М. Методика преподавание математики в средней школе .- М:Просвещение ,1975 .-462с.

с.336-344

3. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 клас

сах. М:Просвещение ,1997.-288с. Т.5,с.18, Т.11, с.41-48

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике.М.:Просвещение, 1985.- 175с., с141-150

2. У світі математики , випуск 7, К.:- Радянська шк..,1076.- 228с., с23-35

3. Математика в школі ,10.2010- с.22-26

4. Математика в школі,11.2010- с.3-4

5. Квант,11.1974 - с.48-53