Производная суммы, произведения, частного двух функций.
Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций. Функция F(x) имеет предел A в точке X0, предельной для области определения функции F(x), если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки X0, образ которой при отображении F(x) является подмножеством заданной окрестности точки A. Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если A существует. Геометрический и физический смысл производной Тангенс угла наклона касательной прямой Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией
Функция fL называется касательной к f в точке x0. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой. Скорость изменения функции Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0. Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x). Примеры Пусть f(x) = x2. Тогда
Пусть f(x) = | x | . Тогда если то f'(x0) = sgn x0, где sgn обозначает функцию знака. Если x0 = 0, то а следовательно f'(x0) не существует.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции Непрерывность дифференцируемой функции Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b). Доказательство Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b). По условию теоремы
Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при dX-0 такую, что
Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).
Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой. Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0 придать приращение Δx 0, то Δy = Δx, а если Δx Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.
Производная суммы, произведения, частного двух функций. 1) (u±v)’=u’±v’, 2) (u·v)’=u’v+v’u, 3) (v/u)'=(u’v-uv’)/u^2
|